Extension des contrastes MISO 

Présentation des approches séquentielles

Dans ce chapitre, nous abordons le problème de la séparation de sources par des méthodes séquentielles. Les méthodes conjointes cherchent à déterminer simultanément l’ensemble des paramètres d’un filtre qui sépare toutes les sources, c’est-à-dire un filtre MIMO W[z] tel que le filtre G[z] := W[z]M[z] soit le produit d’une permutation et d’un filtre diagonal (voir notations du paragraphe 1.4.1-a)). Dans le chapitre précédent, ceci était réalisé par la maximisation d’un critère de contraste, précédée d’un préblanchiment. Les approches séquentielles procèdent au contraire par étape et les sources sont extraites les unes après les autres. Le fondement de ces approches réside en la possibilité d’extraire l’une des N sources du mélange à partir du vecteur des observations. Les autres sources peuvent alors ˆetre extraites en itérant le processus d’extraction précédent sous certaines précautions : une approche classique, appelée déflation, consiste à retrancher la contribution de la source extraite au vecteur des observations et à recommencer à l’identique le processus d’extraction jusqu’à la dernière source. D’autres méthodes existent également, parmi lesquelles nous pouvons évoquer la possibilité d’ajouter d’un terme de pénalisation au critère utilisé [92]. Dans ce chapitre nous expliquerons comment il est également envisageable d’introduire des contraintes sur l’ensemble dans lequel s’effectue l’optimisation. Par construction, les méthodes séquentielles reviennent à chercher et à construire le filtre séparant W[z] ligne par ligne : cette étape constitue le point central qui fonde ces méthodes. Nous serons donc amenés à étudier l’une quelconque de ces étapes et, dans ce but, nous noterons w[z] une des lignes du filtre W[z] (w[z] est un filtre MISO donc de taille 1 × Q). La ligne correspondante du filtre global G[z] est de taille 1 × N et notée g[z] := w[z]M[z]. Ainsi g[z] constitue un filtre MISO dont la sortie (y(n))n∈Z s’écrit : y(n) = w[z]x(n) = g[z]s(n) (3.1) et dans le cas d’un bruit additif b(n) sur les capteurs : y(n) = w[z]x(n) = w[z] ³ M[z]s(n) + b(n) ´ = g[z]s(n) + ˜b(n). (3.2) o`u ˜b(n) = w[z]b(n) est le résultat du filtrage du bruit par le filtre ligne extracteur. Nous allons considérer l’extraction d’une source et étudier en fonction du filtre global g[z] les critères dont la maximisation permet d’atteindre ce but. De tels critères sont appelés critère de contraste. Afin de les distinguer des critères de contraste conjoints définis au chapitre précédent, nous nous autoriserons à parler, si toutefois il pouvait y avoir ambigu¨ıté, de critère de contraste MISO. Dans le paragraphe suivant, des résultats existant ayant trait aux contrastes MISO sont présentés puis étendus. 

Généralisation des contrastes existants 

Dans le cas MISO, la propriété essentielle qui permet de définir une fonction de contraste est que sa maximisation permet l’extraction d’une source. Cependant, il convient de faire certaines distinctions selon la nature des sources. Dans le cas le plus simple de sources i.i.d, la définition suivante d’un contraste peut-ˆetre proposée : Définition 5 (contraste MISO, cas i.i.d.) Une fonction de contraste MISO (ou contraste MISO) est une fonction réelle de la sortie (y(n))n∈Z du filtre ligne global g[z] qui vérifie : (i) C((y(n)n∈Z) ≤ maxN i=1 C((si(n))n∈Z) (ii) Si C((y(n))n∈Z) = maxN i=1 C((si(n))n∈Z), alors le filtre MISO global est du type g[z] = (0, . . . , 0, αz−d , 0, . . . , 0), o`u α est un scalaire non nul, d ∈ Z et la position de l’élément non nul z −d correspond à un indice i de l’une des sources pour lesquelles C((si(n))n∈Z) est maximal. Remarque 4: Dans la définition ci-dessus, il a implicitement été supposé qu’une fonction de contraste dépendait des statistiques du signal de sortie et d’elles seules. En raison de la stationnarité toujours supposée (hypothèse H.1), ceci entraˆıne une invariance par translation temporelle, c’est-à-dire C((y(n))n∈Z) = C((y(n−l))n∈Z) pour tout l ∈ Z. Dans le chapitre 5, nous nous intéresserons à des familles de contrastes paramétrées par un autre signal fixé (signal de référence). Dans ce cas, l’invariance du contraste par translation temporelle ne sera pas nécessairement vérifiée et nous devrons adapter la définition correspondante. Dans le cas i.i.d., il a été démontré [62, 93] que le critère |κy(0, 0, 0)| (E{|y(n)| 2}) 2 , (3.3) est un contraste au sens de la définition ci-dessus. Le cas de sources non i.i.d. requiert un peu plus de technicité et une définition plus souple de la notion de contraste. Nous ferons l’hypothèse suivante sur les sources : H.10 Pour tout j ∈ {1, . . . , N}, la j ème source est centrée, stationnaire et sa fonction d’autocorrélation, notée (γj (k))k∈Z := (E{sj (n)s ∗ j (n − k)})k∈Z, est définie positive. De plus, chaque source est de puissance unité (γj (0) := E{|sj (n)| 2} = 1). Alors, pour tout indice j ∈ {1, …, N} et tout filtre SISO h[z], nous posons : khkj := ³ X (k,l)∈Z2 h(k)h(l) ∗ γj (l − k) ´ 1 2 . (3.4) Compte tenu de H.10, k.kj définit bien une norme. Il est alors possible de définir la norme ` 2 pondérée du filtre global g[z] := (g1[z], . . . , gN [z]) : kgk := ³X N j=1 kgjk 2 j ´ 1 2 .Enfin, nous introduisons les ensembles suivants : ∀i ∈ {1, . . . , N} Gi := © g[z] = (g1[z], . . . , gN [z]) | kgjkj = δi−j , ∀j ª (3.6) Pour tout i ∈ {1, . . . , N}, Gi est le sous-ensemble des filtres globaux de norme unité dont toutes les composantes sont nulles, sauf la i ème dont la norme-i vaut 1. Ainsi, un filtre global MISO appartenant à Gi donne en sortie une filtrée scalaire de le la i ème source. A partir de ces éléments, il est maintenant possible de donner la définition d’un contraste dans le cas de sources non i.i.d. et non linéaires : Définition 6 (contraste MISO, cas non i.i.d.) C est un contraste lorsque : (i) C((g[z]s(n))n∈Z) ≤ maxN i=1 supg˜∈Gi C((g˜[z]s(n))n∈Z) < +∞ (ii) C((g[z]s(n))n∈Z) = maxN i=1 supg˜∈Gi C((g˜[z]s(n))n∈Z) si et seulement si il existe un scalaire α 6= 0 et gˇ ∈ Gi0 permettant d’écrire g = αgˇ, o`u i0 est tel que supg˜∈Gi0 C((g˜[z]s(n))n∈Z) = maxN i=1 supg˜∈Gi C((g˜[z]s(n))n∈Z). Remarque 5: Dans les définitions 5 et 6, le contraste C a été noté comme dépendant de la sortie globale. Cependant, pour des sources et un mélange donnés, la sortie s’exprime en réalité en fonction des observations selon l’équation (3.1) et le contraste dépend ainsi des paramètres du filtre séparant. En revanche, il est plus commode pour l’étude théorique de considérer la dépendance du contraste en fonction du filtre MISO global g[z]. C’est ce dernier point de vue qui prévaut dans les développements qui suivent : le critère considéré sera noté J(g) et étudié en fonction de sa dépendance vis-à-vis du filtre global. Remarque 6: Dans les définitions 5 et 6 a été introduit un scalaire non nul α : il correspond à l’indétermination de multiplication des sources par un facteur multiplicatif. En général, les fonctions de contraste ne sont considérées que sur l’ensemble des filtres globaux de norme unité, ce qui équivaut à une normalisation en puissance (E{|y(n)| 2} = 1) de la sortie globale. Dans ce cas, nous pouvons imposer |α| = 1 dans les deux définitions.