FORMULATION ET ALGORITHME DE RÉSOLUTION NUMÉRIQUE PAR LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

Si l’on désire prendre en compte des particularités du modèle de comportement que l’on a négligés en première analyse (dilatance, écrouissage plus sophistiqué, etc..) ou si l’on souhaite tester des cas de chargements plus complexes (creusement des tunnels par exemple), il est nécessaire de développer des méthodes numériques par éléments finis. En effet, la méthode des éléments finis est par excellence l’outil moderne de calcul, unanimement adoptée pour sa généralité et sa facilité de programmation. Elle ne peut cependant être appliquée facilement au modèle viscoplastique avec rupture dans sa forme classique standard comportant une intégration dans le temps pour des problèmes viscoplastiques et un schéma itératif pour les problèmes de plasticité. Le traitement numérique du modèle viscoplastique avec rupture devient complexe en raison de l’évolution simultanée des déformations plastiques et viscoplastiques pendant le chargement. Quelques auteurs se sont intéressés à ces types de problèmes numériques [Runesson&al, 1981], [Borja&Kavazandjian, 1981]. Ces auteurs ont utilisé le principe de la décomposition du tenseur des déformations irréversibles en une partie plastique et une viscoplastique pour décrire le comportement de certaines argiles de surface. Pour les premiers par exemple, l’intégration dans le temps est effectuée à l’aide d’une méthode de Runge-Kutta d’ordre 2; dans les travaux des seconds la déformation viscoplastique dépend explicitement du temps. Pour tous ces auteurs, les critères de plasticité et de viscoplasticité sont de type Cam-Clay, faisant ainsi intervenir la pression interstitielle dans le milieu.

D’autres auteurs comme [Sharifi P&Yates, 1974] , [Pifko&Levy, 1981] ou [Snyder&Bathe, 1981] ont utilisé la même décomposition pour représenter cette fois le comportement de certains aciers à très haute température. De même [Lemaître&Chaboche, 1984] se sont intéressés à cette décomposition et plus précisément d’un point de thermodynamique. [Sharifi P&Yates, 1974] utilisent une loi viscoplastique sans seuil de Norton-Odqvist pour représenter la loi de fluage dans leur décomposition du tenseur des déformations irréversibles. [Pifko&Levy, 1981] proposent une approche plus générale basée sur un schéma d’Euler explicite pour l’intégration dans le temps. Une des difficultés majeures d’un algorithme reste toujours son implementation pratique. L’algorithme que nous proposons dans ce chapitre s’inspire en partie des travaux de tous ces auteurs, mais plus précisément des travaux de [Synder&Bathe, 1981] et [Lemaitre&Chaboche, 1984]. Pour les premiers, l’intégration dans le temps s’effectue suivant un schéma semi-implicite d’Euler, et utilisent plutôt des critères de Von-Mises pour représenter la plasticité et la viscoplasticité. Les seconds présentent un cadre thermodynamique qui nous assure l’existence de la solution numérique. C’est aussi en nous basant sur les outils numériques de GEOMEC91 [Bernaud, 1991] que nous avons implanté notre méthode de résolution par éléments finis qui se démarque de celle de Bathe&Snyder par les critères que nous utilisons

Rappelons que l’hypothèse fondamentale dans la formulation de notre modèle est la partition du tenseur des déformations. La déformation totale est somme de trois termes : la déformation élastique, la déformation plastique et la déformation viscoplastique. Dans le cadre de cette formulation, nous allons supposer que le matériau est standard, le potentiel plastique sera donc confondu avec la surface de charge (plastique). La partie viscoplastique du tenseur des déformations totales obéit à une règle de normalité. Nous exposons dans ce paragraphe le principe d’intégration numérique de la loi de comportement viscoplastique avec rupture. L’intégration utilise le principe itératif du schéma implicite de la résolution numérique classique en plasticité. En chaque point le problème est résolu incrémentalement de la manière suivante : déterminées de façon explicite pour les matériaux de Von-Mises et Drucker-Prager, pour des problèmes d’évolution en déformation plane et en axisymétrie. Nous obtenons donc l’expression exacte du multiplicateur plastique. Dans le cadre de la formulation décrite au paragraphe précédent, l’algorithme de résolution par la méthode des éléments finis est basé sur le schéma semi-implicite d’Euler de la résolution numérique des équations différentielles ordinaires. A chaque pas de temps sont effectués les calculs des déplacements nodaux, et des contraintes aux points de Gauss, ainsi que les déformations plastiques et viscoplastiques aux mêmes points de Gauss [Snyder&Bathe 1981].