Fraction continue et irrationalité

Introduction 

Dans le chapitre 1, nous avons défini une fraction continue finie par son développement ra1, a2, . . . , ans. Nous avons montré que tout nombre rationnel peut se développer en fraction continue simple finie et que réciproquement toute fraction continue simple finie représente un nombre rationnel. Dans ce chapitre, nous allons développer en fraction continue des nombres irrationnels et les fractions continues en résultant seront infinies. Nous montrerons que toute fraction continue infinie représente un nombre irrationnel. – Les nombres irrationnels que nous allons considérer dans cette partie sont des irrationnels de la forme a  ? b c appelés irrationnels quadratiques avec pa, cq P Z  Z  et b P N  non carré parfait. – Cependant il existe d’autres irrationnels appelés irrationnels transcendants comme π et e. 

Fractions continues infinies 

Définition 2.2.1 (Fraction continue infinie). Une fraction continue infinie est définie comme la limite de ra1, a2, . . . , ans, si cette limite existe. Notation  une fraction continue infinie sera notée par ra1, a2, . . .s Définition 2.2.2 (réduite et quotient complet d’une fraction continue infinie). Soit ra1, a2, . . .s une fraction continue infinie. On définit la k-i`eme réduite de ra1, a2, . . .s par ra1, a2, . . . , aks et le k-`eme quotient complet par rak, ak

Développement en fraction continue d’un irrationnel

Nous avons montré que toute fraction continue simple infinie représente un nombre irrationnel. Inversement étant donné un irrationnel α, peut-on montrer que ce nombre s’exprime comme une fraction continue simple infinie. La réponse est oui. Plus précisément on montrera que tout irrationnel α peut s’exprimer comme une fraction continue simple infinie ra1, a2, . . .s qui converge vers α. 21Papa Ousseynou Mbaye Master 2 Alg`ebre Géométrie et Applications 2. Fraction continue et irrationalité 1. Soit α1 un nombre irrationnel donné 2. posons a1  tα1u On peut écrire α1 sous la forme α1  a1