Généralités sur les ondelettes

 Choix de la décomposition en ondelettes et de la fonction d’analyse

 Décomposition décimée et non-décimée En pratique, la décomposition d’une image à partir d’une transformée en ondelettes se caractérise généralement par une étape de filtrage à partir de filtres passe-haut et passe-bas et une éventuelle étape de décimation (dans le cas d’une décomposition de type « décimée »). L’étape de décimation a pour principal intérêt de réduire le volume des données produites après chaque niveau de décomposition dans le but de supprimer la redondance d’information. L’algorithme le plus utilisé est celui développé par Mallat [Mallat 1989a]. Celui-ci s’apparente à une décomposition pyramidale [Burt & Adelson 1983] issue d’une décimation d’un facteur 2. LEFEBVRE, Antoine. Contribution de la texture pour l’analyse d’images à très haute résolution spatiale : application à la détection de changement en milieu périurbain – 2011 Généralités sur les ondelettes Chapitre 3. Généralités sur les ondelettes La structure « filtres + décimation »est alors appelée un banc de Filtres Mirroir en Quadrature (QMF). La décomposition est dite dyadique lorsque la décimation est d’un facteur 2. Comme nous l’avons mentionné, l’intérêt principal de la décimation est de réduire la redondance de données. Cependant, cette étape de décimation est peu pratique lorsque l’on souhaite extraire des informations d’une zone de l’image dans les composantes des différents niveaux d’échelle. En effet, la localisation et le nombre de pixels de la zone étudiée se retrouvent modifiés à chaque niveau d’échelle. Afin de faciliter la gestion des différentes composantes, nous utilisons principalement une décomposition non-décimée qui garantit une cohérence spatiale entre l’image originale et les composantes issues de la transformée en ondelettes.

Choix de l’ondelette mère

Parmi le nombre important d’ondelettes disponibles, le choix de l’ondelette mère peut sembler déterminant. Il n’existe cependant pas de règles spécifiques. Dans [Mojsilović et al. 2000], les auteurs ont essayé d’identifier l’ondelette optimale pour l’analyse de texture, cependant aucune ondelette ne se démarque clairement des autres. Pour un grand nombre d’applications (compression, dé-bruitage, etc.), il est préférable de représenter l’image avec un nombre réduits de coefficients. Dans [Mallat 1998], il est montré que plus l’ondelette mère possède des moments nuls (nombre de passages par zéros), plus le nombre de coefficients non nuls pour représenter une discontinuité d’ordre élevé est réduit. Ainsi, cela est adpaté pour représenter efficacement des motifs texturés, des contours, etc… . Cependant dans notre travail, nous utilisons la décomposition en ondelettes afin d’analyser les propriétés multi-échelles de l’image et non dans un but de compression. Le nombre de coefficients non nuls n’est donc pas important. Ainsi, en raison de sa simplicité, nous avons principalement utilisé l’ondelette de Haar (Figure 2.10(a)). Celle-ci possède le support le plus court parmi les différentes familles d’ondelettes et ne comporte qu’un seul moment. En conséquence, elle constitue l’ondelette la plus simple et la plus pratique à utiliser. 3.2 Représentations des coefficients d’ondelettes Les étapes de traitement des prochains chapitres se basent sur la comparaison d’objets préalablement segmentés dans l’image. Nous avons choisi de caractériser chacun de ces objets par la distribution des coefficients des différentes composantes de la transformée en ondelettes. L’information de luminance de chaque objet est décrite par la distribution des coefficients de la composante basses fréquences et la texture est caractérisée par les distributions des coefficients des composantes hautes fréquences (dans les directions horizontales, verticales et diagonales). Pour illustrer cette approche, la figure 3.1 présente deux textures distinctes qui ont été décomposées à partir d’une 70 LEFEBVRE, Antoine. Contribution de la texture pour l’analyse d’images à très haute résolution spatiale : application à la détection de changement en milieu périurbain – 

Représentations des coefficients d’ondelettes transformée d’ondelette (en un niveau de décomposition).

Les figures 3.1 (c)–(p) présentent les composantes basse et hautes fréquences qui en résultent à la fois sous la forme d’image et d’histogramme. Nous pouvons considérer l’image (a) et l’image (b) comme des objets préalablement segmentés et les histogrammes de chaque composante comme les informations de luminance et de textures qui les définissent. En pratique, les histogrammes empiriques sont directement utilisés, tout calcul effectué sur ceux-ci est susceptible d’être bruité. En effet, le nombre de coefficients peut être insuffisant et/ou certains peuvent avoir des valeurs aberrantes, ce qui conduit à des histogrammes bruités (Figure 3.1). Une étape préliminaire de lissage est alors réalisée sur l’ensemble de ces distributions avant qu’elles ne soient utilisées dans la suite des traitements. Ceci est présenté dans la section suivante. 

Lissage de la distribution des coefficients de la composante basse fréquence

Les mesures relatives à la luminance sont extraites à partir des composantes basse résolution de la décomposition en ondelettes. En général, les histogrammes de luminance de chaque région ne suivent pas une loi paramétrique donnée. Pour estimer ces distributions, nous avons donc choisi un estimateur non-paramétrique par méthode à noyaux [Bowman & Azzalini 1997]. La méthode à noyaux estime une distribution ˆf tel que : ˆf(x, h) = 1 nh ∑n i=1 K ( x − Xi h ) (3.1) où K est le noyau, h est la largeur de la fenêtre. Pour une observation x, l’estimateur définit une fenêtre de largeur h dans laquelle est calculée une moyenne pondérée des observations. La pondération a pour but d’accorder plus d’importance aux observations proches de x et moins aux valeurs éloignées. Dans ce travail, K correspond à une densité de fonction gaussienne normalisée : K(x) = 1 √ 2π exp 1 2 x 2 (3.2) 3.2.2 Lissage des distributions des coefficients des composantes hautes fréquences Dans le cas des ondelettes, il a été reconnu que la distribution des coefficients d’une composante de détails I[ȷ, k] s’apparente à une gaussienne généralisée, Generalized Gaussian Density (GGD) [Mallat 1989b]. La GGD s’exprime par : p(x; α, β) = β 2αΓ(1/β) e −( |x| α ) β . (3.3) 71 LEFEBVRE, Antoine. Contribution de la texture pour l’analyse d’images à très haute résolution spatiale : application à la détection de changement en milieu périurbain – 2011 Chapitre 3. Généralités sur les ondelettes (a) (b) RMS = 0.747692 RMS = 0.108961 (c) (d) (e) (f) 100 200 300 400 500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 RMS = 0.768203 RMS = 0.666362 (e) (f) (g) (h) RMS = 2.500325 RMS = 0.802681 (i) (j) (k) (l) RMS = 1.933761 RMS = 0.294698 (m) (n) (o) (p) Figure 3.1 – Exemples de décomposition d’images en ondelettes et représentation de leur histogrammes empiriques et lissés 72 LEFEBVRE, Antoine. Contribution de la texture pour l’analyse d’images à très haute résolution spatiale : application à la détection de changement en milieu périurbain – 2011 3.3. Utilisation des informations issues de la décomposition en ondelettes Elle est caractérisée par deux coefficients : le paramètre d’échelle α et le paramètre de forme β. Par exemple, une distribution gaussienne (respectivement sous-gaussienne et super-gaussienne) correspond à β = 2 (respectivement β < 2 et β > 2). Le terme Γ(t) = ∫ +∞ 0 e −z z t−1dz correspond à la fonction gamma. La figure 3.1 illustre l’estimation d’une GGD (en rouge) à partir de la distribution des coefficients de I[ȷ, k] (en gris). L’étape de lissage consiste à identifier les paramètres (α, β) de chaque composante. Plusieurs méthodes peuvent être utilisées telles que la technique des moments [Teh & Chin 1988] ou le maximum de vraisemblance [Do & Vetterli 2002]. Lors de nos expérimentations, on a pu observer que la première méthode ne donnait pas de résultat cohérent et on a ainsi choisi d’utiliser la méthode par maximum de vraisemblance.