Imagerie rapide en comptage de photons, application à l’interférométrie stellaire optique à longue base

Généralités sur l’optique corpusculaire 

Le photon

 La question de la nature de la lumière a fait l’objet d’un long débat au cours de l’histoire des sciences. Au XVIIème siècle, René Descartes, après sa description des lois de l’optique géométrique, avan¸ca l’hypothèse selon laquelle la lumière serait constituée de particules en mouvement, idée partagée par Isaac Newton un peu plus tard. Ce point de vue fut réfuté d’abord par Christian Huygens à la même époque, puis au début du XIXème siècle par Augustin Fresnel, qui établit les lois de l’optique ondulatoire. La réhabilitation de l’hypothèse corpusculaire se fit grˆace aux travaux de Max Planck, puis d’Albert Einstein. De fa¸con à pouvoir déterminer correctement la loi de rayonnement du corps noir, Planck émit l’idée en 1901 que les transferts radiatifs se faisaient par quantités indivisibles d’énergie que l’on nomme hh quanta ii. En 1905, Einstein, tenta expliquer l’effet photoélectrique (Fig. 1.1-a), c’est-à-dire l’émission d’électrons par certains matériaux en présence de lumière (observé la première fois par Hertz en 1887). Il décrivit, en s’inspirant de l’idée de Planck, la lumière comme étant composée de particules, qui furent d’abord appelées lichtquanten, puis hh photons ii. L’existence du photon permit aussi un peu plus tard d’expliquer l’effet Compton (absorption par un électron d’une partie de l’énergie d’un photon, l’autre partie donnant lieu à la création d’un photon moins énergétique, le photon initial n’existant alors plus ; Fig. I.1-b). La mécanique quantique tenta dans les années 1920 de concilier les caractères ondulatoires et corpusculaires de la lumière. Le photon est donc une quantité d’énergie localisée (dans les limites données par Heisenberg). Energie donnée par la célèbre formule : ´ E = hν (I.1.1) o`u h représente la constante de Planck et ν la fréquence de l’onde associée au photon. Dans la pratique, on préfère caractériser un photon par sa longueur d’onde λ. Son énergie s’écrit alors : E = hc λ (I.1.2) o`u c représente la vitesse de la lumière dans le vide. L’existence du photon pose une limite inférieure, dite hh limite quantique ii, dans la possibilité d’observation des phénomènes faiblement lumineux, c’est-à-dire particulièrement en astronomie. Même le détecteur le plus sensible ne pourra observer certains objets pendant un temps de pose donné, car en observant l’un d’eux, la probabilité de recevoir un photon pendant le temps d’observation est quasi-nulle. Atome Electron Photon h! Ek Photon h! Ek Photon h!’!h! (a) (b) Electron , , Figure I.1. Effets photoélectrique (a) ; Compton (b). 

L’imagerie en comptage de photons 

On définit par hh imagerie en comptage de photons ii la réalisation d’images à la limite quantique. Dans ce cas, l’image se forme temporellement photon après photon, chacun correspondant à un impact de coordonnées (x, y) dans le plan de l’image. Si le système en amont du détecteur est du type télescope, l’image obtenue après intégration d’un très grand nombre de photons peut alors s’interpréter comme étant une hh cartographie ii de la distribution des angles d’incidence des photons collectés. Chaque incidence se caractérise par deux angles (α, β) ayant leurs correspondants (x, y). L’intensité en (x, y) est alors proportionnelle au nombre de photons d’incidence (α, β). Les résultats de l’optique ondulatoire concernant la résolution angulaire d’un télescope peuvent d’ailleurs être retrouvés par la mécanique quantique de la fa¸con suivante, en prenant un cas à deux dimensions. On prend l’inégalité d’Heisenberg : δx.δp ≥ h (I.2.1) δx représente l’indétermination sur la position du photon et δp l’indétermination sur sa quantité de mouvement. On s’intéresse à l’instant o`u le photon pénètre par la pupille d’ouverture D, ce qui va supprimer l’incertitude totale sur x, mais introduire une incertitude sur p tel qu’il sera mesuré dans le plan image grˆace à la lentille ou au miroir du télescope. Comme on ne peut pas connaˆıtre la position exacte d’un photon dans le plan pupille, on a : δx = (0, D) (I.2.2) Chapitre I. Généralités sur l’optique corpusculaire 13 L’expression de p s’écrit (loi de de Broglie) : p = h λ (cos α,sin α) (I.2.3) En considérant que les angles d’incidence des photons détectables doivent être petits, on peut faire l’approximation : p = h λ (1, α) ⇒ δp = h λ (0, δα) (I.2.4) et par conséquent : (0, D).  0, h λ δα ≥ h ⇒ D h λ δα ≥ h ⇒ δα ≥ λ D (I.2.5) Ce résultat rappelle celui obtenu par le principe de Huygens-Fresnel lorsque l’on cherche à expliquer la diffraction par une ouverture à deux dimensions (voir annexe 2-B). p ! D « ! p+ »p Figure I.2. Illustration de la résolution angulaire limite en mécanique quantique. Nous avons souligné précédemment l’existence de la limite quantique. Celle-ci est relative à l’aire collectrice Ac du télescope qui ne peut être augmentée indéfiniment pour des raisons pratiques. On arrive aujourd’hui à obtenir Ac ≈ 200 m2 (cas des quatre télescopes du VLT). Si nous considérons la limite hh instrumentale ii d’observation comme étant liée à la sensibilité du détecteur placé au foyer du télescope, alors le caractère quantique de la lumière permet de rapprocher la limite instrumentale de la limite absolue. En effet, dans le cas des phénomènes continus, la limite instrumentale est fixée par le bruit propre du détecteur (exprimé par la puissance équivalente de bruit ou NEP) et la durée maximale d’observation τobs durant laquelle la valeur relative au phénomène observé reste constante. Quelle que soit la NEP et τobs, comme il n’y a pas de limite quantique, il existera toujours des phénomènes d’énergie inférieure à NEP/ √ τobs (qui ne pourront pas être détectés). En revanche, si un détecteur de lumière est assez sensible pour détecter l’énergie d’un seul photon, alors il pourra capter toute l’information lumineuse donnée par le collecteur.Nous allons voir qu’il est physiquement possible de construire un détecteur approchant ces conditions optimales. Approchant seulement car : a) il n’existe pas d’instruments capable de détecter hh à tous les coups ii l’impact d’un photon. Les processus de détection ne se déclenchent jamais systématiquement à chaque photoévénement (voir II-1). Le traitement de l’information correspondant à un photoévénement peut être erroné et, parfois même, négligé. b) Les détecteurs possèdent un hh bruit d’obscurité quantique ii, c’est-à-dire qu’ils indiquent des photoévénements qui ne se sont pas produits. Ceci est particulièrement vrai lorsque l’on détecte de particules de faible énergie dont font partie Les photons du spectre visible. Afin de mesurer la qualité des images en comptage de photons, nous allons définir une expression du rapport signal sur bruit dans ces images. Considérons un pixel (˘x, y˘) dans l’image. Soit Φ(˘x, y˘) le nombre de photons par unité de temps re¸cus par le pixel.