Le point de départ de notre travail de thèse est lié à notre expérience d’enseignante au sein d’un cours d’Introduction aux variétés différentielles donné à des étudiants de troisième année dans une filière mathématique à l’Université de Mons en Belgique. Nous avons repéré au fil des années des difficultés récurrentes chez ces étudiants à interpréter géométriquement les équations manipulées, et ce, même pour des objets tels que les droites et les plans dans l’espace. Nous nous sommes donc intéressée, dans ce travail, à l’enseignement de ces notions d’une part pour mieux comprendre leurs difficultés et d’autre part pour trouver des pistes visant à améliorer notre enseignement.

La difficulté d’interprétation géométrique des étudiants concerne notamment des notions qu’ils ont déjà rencontrées à de nombreuses reprises. C’est le cas des notions de droites et de plans dans l’espace. Cela nous amène à réaliser une étude du relief sur ces notions, au sens de Pariès, Pouyanne, Robert, Roditi et Rogalski (2007), c’est-à-dire une étude croisant des aspects cognitifs, curriculaires et épistémologiques.  Nous réalisons un diagnostic du cours de Mathématiques élémentaires dans lequel ces notions sont travaillées avec des étudiants de BAB1. Ce diagnostic complété par les travaux antérieurs nous aide à dégager quelles sont les difficultés rencontrées par les étudiants et à déterminer les premières spécificités des notions.

La géométrie différentielle est l’application des outils du calcul différentiel et de l’algèbre linéaire à l’étude de la géométrie (définition utilisée dans le syllabus  du cours et inspiré de Wikipédia). Nous étudions alors au sein de ce cours des objets géométriques tels que les courbes du plan et de l’espace ainsi que les surfaces de R³ . C’est une volonté de la part des enseignants de ne pas aller au-delà de l’espace appréhendable par les étudiants. En effet, l’interprétation géométrique des notions vues et des calculs effectués est selon nous une condition nécessaire pour une meilleure compréhension des notions clés de la géométrie différentielle.

Le cours de géométrie différentielle aborde de nombreuses notions amenant les étudiants à réaliser beaucoup de calculs. L’interprétation géométrique des différentes notions est alors nécessaire pour que les étudiants les comprennent. Nous avons mis en évidence le travail attendu des étudiants par les enseignants lors des exercices et des évaluations. La confrontation des résultats obtenus avec la surface étudiée est jugée importante au sein de ce cours. Or, pour y arriver, les étudiants doivent être capables d’esquisser la surface ou du moins de la visualiser, c’est-à-dire de se créer une image mentale de l’objet et de pouvoir effectuer des modifications de ces images mentales comme par exemple effectuer des rotations (Marchand, 2006).

Nous intervenons dans les travaux dirigés depuis presque sept ans. Nous constatons chaque année qu’il n’est pas évident pour la majorité des étudiants de visualiser la surface étudiée, les courbes décrites par les sections normales, et d’employer une démarche permettant d’y arriver. Les étudiants essayent généralement de s’en sortir avec une démarche de pointage (Duval, 1988). Il s’agit de trouver des points appartenant aux courbes et aux surfaces et de s’en donner suffisamment pour esquisser l’objet géométrique considéré. Cette démarche peut fonctionner dans R² mais dans R³ elle est vite mise en défaut. Ils sont généralement démunis lorsque cette démarche est non efficace.

Comme nous l’avons expliqué, la majorité des étudiants se limite à une démarche de pointage pour décrire un objet géométrique à partir d’une équation. Cette méthode peut être efficace dans certains cas mais pas dans tous. Elle ne permet pas non plus de pouvoir représenter un objet géométrique à partir d’une équation. Nous en déduisons que la démarche d’interprétation géométrique n’est pas acquise chez la plupart de nos étudiants. En outre, cette difficulté à interpréter géométriquement les équations se pose pour presque tous les objets géométriques abordés au sein du cours dont il est question ici  . En effet, elle concerne aussi bien des objets géométriques déjà rencontrés à de nombreuses reprises par les étudiants dans leur parcours scolaire (secondaire et universitaire) que des objets géométriques nouveaux (par exemple le tore). Parmi les objets géométriques connus, les notions de droites et de plans dans l’espace ne semblent pas maîtrisées par la plupart de nos étudiants de BAB3. Celles-ci sont pourtant introduites dans l’enseignement secondaire et retravaillées à l’université. Nous nous sommes donc intéressée à l’enseignement de ces notions afin de mieux comprendre la difficulté de nos étudiants à interpréter géométriquement des équation .