Incidence sur la gestion technique d’un assureur

Modélisation de la société d’assurance

Une société couvre sur une période5 n risques qui engendreront sur cette période les montants de sinistres n S ,…, S 1 où i S correspond à la charge de sinistres de l’ensemble des polices de la branche i dont la fonction de répartition sera notée Fi . Cette modélisation n’est pas restrictive dans la mesure où la variable aléatoire (v.a.) i S peut représenter les prestations effectivement versées sur la période ou leur valeur actualisée en fin de période. Nous ferons l’hypothèse que le versement des prestations a lieu en fin de période. Nous supposerons également que l’assureur ne souscrit pas de nouveau contrat en cours de période et que toutes les survenances de sinistres sont connues en fin de période. En début de période, conformément à la réglementation, l’assureur a doté ses provisions techniques d’un montant 0L . Parallèlement l’assureur dispose d’un niveau de fonds propres E0 qui doit être supérieur au niveau minimum de 5 . Les documents de travail de la Commission européenne privilégient une approche mono-périodique pour l’appréciation de la solvabilité. Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques 73 fonds propres réglementaires R E0 . Nous supposerons que l’assureur place le montant 0 0 E + L dans m actifs financiers ( ) A A Am ,…, 1 = avec les proportions6 ( ) ω ω1 ωm = ,…, . Pour simplifier les notations, nous poserons, sans perte de généralité, pour tout j ∈{1,…, m}, = 1 Aj et ∑= = m j j 1 ω 1. Nous noterons Ω l’ensemble des choix de portefeuille admissibles au regard de la réglementation. Dans le cadre de la législation française actuelle, le calcul de 0L et R E0 dépend uniquement7 de ( ) n S S ,…, S 1 = , alors que sous un référentiel du type Solvabilité 2, R E0 est également fonction de A Am , ,…, ω 1 . En fin de période, l’assureur doit payer le montant de prestations ∑= = n i i S S 1  . Il dispose comme ressource de ( )∑= + m j E j Aj L 1 0 0 ω . Dans la suite, nous ferons l’hypothèse que les vecteurs aléatoires S et A sont indépendants. Dans la suite Φ désignera la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N ( ) 0;1 .

Critère de maximisation des fonds propres économiques

Après avoir introduit de manière générale le critère de maximisation des fonds propres économiques, nous étudions sa mise en œuvre dans le cadre de la réglementation française actuelle d’une part, puis d’un référentiel de type Solvabilité 2 d’autre part. 2.1. Présentation générale En espérance, l’assureur devra débourser 1 1 EE E n n i i i i SS S = =   = =     ∑ ∑    en fin de période. Par ailleurs et à la même date, ses ressources seront constituées par ses provisions techniques, ses fonds propres et les produits financiers qu’ils ont engendrés, soit ( )∑= + m j E j Aj L 1 0 0 ω .

Mise en œuvre dans le cadre réglementaire français

La réglementation française impose d’évaluer les provisions techniques branche par branche. Elle précise8 que ces provisions correspondent à la « valeur estimative des dépenses (…) nécessaires au règlement de tous les sinistres survenus et non payés ». Aussi le montant à provisionner en début de période au titre de la branche i sera l’espérance de i S . Par ailleurs l’escompte des provisions est prohibé9 de sorte que l’on a { } 0 1, , , E i i ∀∈ = i nL S  …   et ∑= = n i i L L 1 0 0 . Dans le cadre de la réglementation actuellement en vigueur, R E0 est appelé « exigence de marge de solvabilité10 » et est indépendant de A Am , ,…, ω 1 . En effet, le niveau de l’exigence de marge de solvabilité est uniquement fonction des sinistres passés et des primes encaissées  : l’assureur calcule donc séparément l’exigence de marge selon les méthodes à partir des primes d’une part et des sinistres d’autre part, puis retient la plus grande des deux valeurs. Nous supposerons ici que l’exigence de marge de solvabilité est calculée à partir des primes. En l’absence de réassurance, la méthode à partir des primes consiste à retenir le montant 18% min , 50 M€ 16% max 50 M€ , 0 × Π + × Π− { } S S { } , où ΠS désigne le montant total des primes commerciales encaissées. Dans la suite, nous supposerons ainsi que ( ) 0 18% 1 γ E R E S = ×+      , où γ est le taux de chargement des primes, que nous supposerons commun à toutes les branches..