L’ANALYSE DU PARCOURS DE L’IODE DANS L’ORGANISME HUMAIN

Notion de compartiment

Un compartiment représente l’espace où la quantité d’une substance notée S, présente sous une forme chimique ou physique, est uniforme [2]. Le plus souvent, il s’agit d’un espace virtuel défini par des données. Si la substance S possède des cinétiques de transformation ou de transport que l’on peut distinguer, le compartiment n’est plus unique et, le modèle est multicompartimental. Un compartiment peut être physique, chimique, physiologique ou anatomique. Ces compartiments sont en effet des classes d’équivalence qui sont définies à partir de propriétés physiques. 

Terminologie

L’ensemble de plusieurs compartiments forme un système, qui représente donc un ensemble d’espaces à l’intérieur duquel on désire étudier le comportement de la substance S (le cycle métabolique de l’iode par exemple). Un système peut être fermé et n’échange aucune substance avec l’extérieur, ou au contraire il est ouvert et échange avec son environnement extérieur. Un système est à l’état d’équilibre, lorsque les différentes constantes de renouvellement k sont invariables. L’espace de diffusion est l’espace total où peut se mouvoir la substance, quelle que soit sa forme. Il est alors exprimé en volume ou en masse de la substance S. Le transfert d’une substance d’un compartiment dans un autre peut représenter soit le transport de cette substance uniforme, soit sa transformation chimique. Un état d’équilibre existe, si, quand la substance et ses formes dérivées se déplacent ou se transforment à l’intérieur du système, la quantité qui disparaît par unité de temps est égale à la quantité de remplacement qui apparaît. Dans le renouvellement nous devons considérer, les 2 facteurs suivants : 1) La constante de renouvellement ou de transfert, noté k, a la dimension de l’inverse du temps et représente une constante de vitesse. 2) Le taux de transfert ou de renouvellement s’exprime en unité de masse /temps (ou volume/ temps). Il représente la quantité de substance renouvelée par unité de temps 5

Topologie de l’agencement des compartiments dans un système

Sur la base de trois compartiments, on peut distinguer deux types de système compartimental selon l’agencement des composantes entre elles : Le type caténaire, si les composantes dont disposées en série, les unes à la suite des autres (Figure I.1.a) [2]. Le type mamillaire, si deux des composantes sont reliées en parallèle avec une composante centrale (Figure I.1.b) [2]. Par la combinaison de ces deux configurations, on peut constituer des systèmes hybrides de compositions multiples.

Variable, Constante et Paramètre

La construction d’un modèle compartimental fait appel à différentes grandeurs : une constante arbitraire, les variables indépendantes et les variables dépendante [2]. • Un paramètre ou un constant arbitraire, représente une grandeur dont la valeur est fixée dans un système particulier. Les constantes de renouvellement, les volumes de distribution, les clearances sont des paramètres de structure des modèles compartimentaux. Ces paramètres sont maintenus constants lorsque l’on calcule des variables du système qui changent avec le temps, c’est à dire les variables d’état (exemple : la masse des métabolites pour chaque compartiment). Si un paramètre varie avec le temps, on parle de paramètre temps-dépendant. Les cinétiques décrites par des modèles incluant de tels paramètres sont dites non linéaires ou nonstationnaires. 2 3 1 2 1 3 (a): Système caténaire (b) : Système mamillaire Figure I.1 : Les deux types de topologie des systèmes compartimentaux 6 • Les variables indépendantes les plus rencontrées sont la dose et le temps. De ces deux variables va dépendre l’état du système. • Les variables dépendantes sont celles qui résultent des paramètres du système et des variables indépendantes (exemple : les concentrations, les quantités de substance S). 

Les expressions de flux

 » L’expression de ! » dépend du mode d’introduction de la substance S dans le système : 1) Une entrée en impulsion est formulée par [3] : !#($) = %!#&($) Ce qui signifie que la totalité de la dose administrée, atteint directement la circulation dans le système. (FigureI.2. a) 2) Une entrée en exponentielle a pour expression [3] : !#($) = *!#%!#+ ,-./0 Ce processus modélise un débit d’entrée dépendant d’une source, qui décroît selon un taux proportionnel à sa valeur mathématique. (Figure I.2. b) (a) : Une entrée en impulsion (I.1) (I.2) 

Analyse mathématique du modèle compartimental

Dans l’analyse mathématique du modèle compartimental, nous admettons les hypothèses suivantes : 1) Le processus cinétique est réversible ou non. 2) La transformation des substances présentes dans le système se fait au hasard, il n’y a aucune discrimination entre les molécules anciennement et nouvellement formées. 3) A l’intérieur des compartiments, l’assimilation des molécules introduites est supposée instantanée et de façon homogène. Le temps d’assimilation doit être inférieur au temps de renouvellement de la substance. 4) Le système ne peut être réduit, c’est-à-dire qu’il ne peut être représenté par un modèle compartimental comprenant un nombre moins important de compartiments. (b) : Une entrée en exponentielle Figure I.2 : Mode d’introduction de substance dans un système compartimental 

Définition d’un modèle mathématique

Un modèle mathématique est un système d’équations qui est défini à partir des lois théoriques et qui permet de déterminer les concentrations d’une substance en fonction du temps dans les différents compartiments. Tous les compartiments d’un système ne sont pas accessibles à la mesure et le modèle mathématique permet de déterminer l’évolution de la concentration de la substance dans les compartiments inaccessibles. A l’état d’équilibre, le transfert et la transformation sont comparables à des réactions du 1er ordre et, l’équation différentielle linéaire qui les décrit peut-être traitée par l’algèbre linéaire. 

Rappels mathématiques

Pour traiter le système d’équations auquel nous sommes confrontés, la méthode de résolution fréquemment utilisée est basée sur la transformée de Laplace. Cependant, la programmation de cette méthode est assez ardue, ce qui nous amené à opter pour la méthode des différences finies. Cette méthode est basée sur l’utilisation du développement en séries de Taylor afin de remplacer les termes de dérivations par une expression approchée.