Le modèle d’interaction foule-structure

Le modèle d’interaction foule-structure pour le cas des passerelles piétonnes est présenté. Après avoir détaillé la modélisation du piéton dans un cas général, deux cas particuliers seront étudiés : les piétons marchant dans un plan et les oscillations de la structure étant latérales, puis verticales. Ces modélisations du piéton seront ensuite utilisées pour présenter le modèle d’interaction foule-passerelle.Nous souhaitons modéliser le chargement dynamique de la foule sur une structure vibrantetelle qu’une passerelle, et étudier le phénomène de synchronisation piéton-structure. Les connaissances de la trajectoire de chaque piéton et de son eet sur la structure sont susantes pour notre étude sur la synchronisation. Ainsi, nous représentons un piéton i par une masse mi, i.e. la masse totale de son corps, supposée concentrée au centre de gravité du piéton et soumise à la force d’inertie, à la gravité et à la force échangée entre le piéton et le sol. Dans un repère Galiléen (O, e1, e2, e3), le principe fondamental de la dynamique appliqué à chaquede la masse mi du piéton i, supposée concentrée au centre de gravité du piéton représenté par le point Pi. Elle nous permettra par la suite de justier les équations simpliées de l’oscillation latérale puis verticale pure d’une passerelle, souvent adoptées dans la littérature sans justications.Nous voulons décrire le mouvement de Pi par rapport au repère inertiel (O, e1, e2, e3). Pour faire cela, deux repères cartésiens mobiles sont dénis (Figure 4.1).

Le premier repère mobile (t), associées au fait que le piéton i peut changer de direction pendant la marche, complexient l’expression précédente. Nous simplions cette expression par la suite en adoptant certaines hypothèses suivant deux cas particuliers discutés dans la section suivante.(cas1-H2) l’axe principal longitudinal du pont est rectiligne. On dénit un repère cartésien avec l’axe x parallèle à l’axe principal du tablier, l’axe z vertical et l’axe y orienté en conséquence. Le repère (O, e1, e2, e3) devient (t) instantanément occupée par le piéton (i.e. l’accélération locale ), c’est la quantité physique qui agit sur le piéton. Ce terme est un terme d’entraînement. Les second et troisième termes composent l’accélération relative du piéton : le second concerne l’accélération de la position d’équilibre de la masse (représentant le piéton) selon sa trajectoire, et le troisième correspond aux oscillations de cette masse autour de sa position d’équilibre lors de la marche du piéton.Dans la suite, nous dénissons ces trois accélérations permettant d’obtenir l’expression de sa trajectoire moyenne, nous devons contrôler les mouvements des N piétons dans le plan en prenant en compte les interactions locales piéton-piéton et piéton-obstacle. Nous utilisons le modèle de foule microscopique présenté dans les chapitres 2 et 3.

La même démarche que celle réalisée pour le cas 1 est présentée ici, mais avec des piétons marchant sur une passerelle dont le mouvement est gouverné par ses oscillations verticales. Dans une première partie, nous donnons les hypothèses pour simplier l’expression de ¨Nous présentons ici les équations du modèle d’interaction foule-passerelle pour les cas oscillations latérales puis verticales de la passerelle. Pour chaque direction étudiée, nous présenterons l’équation de la dynamique de la passerelle, l’équation permettant de gérer la variation de la phase de la force exercée par un piéton sur le sol en oscillant autour de sa position d’équilibre, et l’équation permettant de gérer l’allure de la marche des piétons.Nous présentons l’équation de la dynamique de la passerelle lorsqu’un seul piéton est sur la structure, puis lorsqu’une foule de piétons la traverse. Pour chaque situation, les cas sans et avec forme modale sont explicités.système couplé piéton-structure : On considère ici un système couplé formé par un seul piéton et une passerelle et on en étudie seulement les oscillations latérales.

En prenant en compte les hypothèses (cas1-H1) jusqu’à (cas1-H7), l’équation de la dyna- mique de la structure projetée sur le premier mode latéral de vibration s’exprime par :Nous souhaitons prendre en compte la synchronisation dans le modèle d’interaction foule- structure, i.e. l’adaptation de la fréquence de la force générée par chaque piéton sur le sol lors de la marche à la fréquence d’oscillation du système foule-structure. Une équation gé- rant la variation de la phase de la force exercée par le piéton sur le sol lors de la marche en oscillant autour de sa position d’équilibre, permet de mettre en évidence le phénomène de synchronisation. Notre choix de modélisation de l’accélération ¨tion d’une équation diérentielle de type Kuramoto permet de gérer l’évolution de la phase ϕi(t) du piéton i. Plusieurs types d’équations de Kuramoto existent. On peut citer Strogatz qui a proposé une équation qui dépend de l’amplitude des oscillations latérales de la pas- serelle [137], Bodgi qui a déterminé une équation qui est fonction de l’accélération latérale de la passerelle [31], ou Erlicher qui a trouvé une équation de type Kuramoto à partir d’un modèle de Van der Pol Modié [19]. Ces équations permettent de faire converger la fréquence angulaire de marche de chaque piéton vers celle du système foule-structure.Nous avons choisi d’utiliser l’équation proposée par Strogatz, modiée pour prendre en compte la forme modale de la passerelle.