DEUX EXEMPLES D’ACP

• Interprétation des axes

L’interprétation des axes factoriels se fait séquentiellement, pour chaque axe et chaque nuage de points, en regardant les contributions à la formation des axes.

Axe 1 :

Variables : On sait que les variables contribuant le plus à la formation de l’axe 1 sont celles dont les coordonnées sur cet axe sont proches de 1 en valeur absolue. Pour repérer les contributions significatives, on utilise le tableau 3 : on compare les valeurs de la colonne Prin1, coordonnées du premier axe factoriel, à la racine de la contribution moyenne 1/=35%, le signe donnant le sens de contribution. On obtient :

PAA et VIO sont très proches de la contribution moyenne, on les intègrera donc dans l’interprétation de l’axe si elles vont dans le sens de l’interprétation que l’on peut en faire, sans elles.

L’axe 1 oppose les individus consommant du pain ordinaire, des légumes secs (et éventuellement du vin ordinaire) à ceux qui consomment du raisin, du vin (éventuellement du pain) plus sophistiqué et des plats préparés.

L’axe 1, et donc la première composante principale, mesure la répartition entre aliments ordinaires bon marchés et aliments plus recherchés. Toutes les variables sont bien représentées sur l’axe (tableau 5 : la qualité de représentation est égale à la coordonnée au carré ; ainsi, la qualité de représentation de la variable PAO est égale à (-0,97²)=0,94 ; plus simplement, on peut avoir une idée de la qualité de représentation d’une variable sur un axe en lisant directement le graphique : une variable bien représentée est proche du bord du cercle des corrélation et à proximité de l’axe). La première composante principale explique donc correctement tous les types de consommations alimentaires.

Individus : De même, les individus contribuant le plus à la formation de l’axe 1 sont ceux dont les coordonnées sur cet axe sont les plus élevées en valeur absolue. Pour repérer les contributions significatives, on utilise le tableau 4 : on compare les valeurs de la colonne Prin1, coordonnées des individus, à la racine carrée de la première valeur propre =2,49, le signe donnant le sens de contribution. On obtient :

Le premier axe met donc en opposition quant à leurs habitudes alimentaires les agriculteurs et les cadres supérieurs. Les autres catégories socio-professionnelles, assez bien représentées sur l’axe à l’exception des inactifs (cf. contributions des individus sur l’axe 1), s’échelonnent suivant la hiérarchie habituelle. Elles sont bien expliquées par l’axe.

 Conclusion : L’axe 1 reflète donc l’opposition qui existe entre les catégories socio-professionnelles dans leur alimentation, opposant les CSP modestes qui consomment des produits basiques aux catégories favorisées qui consomment des produits plus recherchés.

Axe 2 :

 Variables : Dans le tableau 3, on compare les valeurs de la colonne Prin2 à 35%, le signe donnant le sens de contribution. On obtient :

L’axe 2 est défini par les variables POT et PAA. Compte tenu de la différence de contribution existant entre ces deux variables, de la contribution élevée de POT (55%), et de la qualité de représentation moyenne de PAA, la deuxième composante principale peut être considérée comme essentiellement liée à la consommation de pommes de terre. Les variables, à l’exception de POT et de PAA (dans une moindre mesure) sont assez mal représentées sur l’axe (tableau 5). La deuxième composante principale n’explique donc qu’un aspect très particulier de la consommation alimentaire.

Individus : Pour repérer les individus ayant une contribution significative, on utilise le tableau 4 : on compare les valeurs de la colonne Prin2, coordonnées des individus sur l’axe 2, à la racine de la deuxième valeur propre =0,94, le signe donnant le sens de contribution. On obtient :

Le deuxième axe est caractéristique des inactifs (expliquant =75% de l’inertie de l’axe).Les autres catégories socio-professionnelles sont mal représentées sur l’axe.

 Conclusion : L’axe 2 reflète donc la particularité des inactifs quant à leur alimentation, fortement composée de pommes de terre (un retour aux données d’origine vient confirmer cette conclusion).

Synthèse :

 Ici, il n’y a rien de plus à tirer de cette analyse au vu du graphique (pas de regroupement particuliers de points, autres qu’à proximité des axes, ce qui a déjà été analysé). On peut en revanche synthétiser les résultats de l’analyse dans un tableau C « réduit », tableau contenant l’essentiel (88%) de l’inertie (i.e. de l’information) totale du tableau d’origine.

CSP        C1          C2

AGRI    -3.37158    -0.24582

SAAG    -3.52171    -0.44740

PRIN     1.47203     0.05851

CSUP     4.35879     0.17611

CMOY     1.71808    -0.85665

EMPL     0.80653    -0.80853

OUVR    -0.89910    -0.18304

INAC    -0.56304     2.30681

C1=répartition entre aliments ordinaires et aliments plus recherchés

C2=répartition de la consommation de pommes de terre

EXEMPLE 2

 Le tableau suivant fournit la structure du bilan d’un groupe pétrolier de 1969 à 1984 :

Les postes de bilan sont les suivants :

NET : Situation nette ; représente l’ensemble des capitaux propres de l’entreprise.

INT : Intérêts ; représente l’ensemble des frais financiers supportés par l’entreprise.

SUB : Subventions ; représente le montant total des subventions accordées par l’Etat.

LMT : Dettes à long et moyen terme.

DCT : Dettes à court terme.

IMM : Immobilisations ; représente l’ensemble des terrains et du matériel de l’entreprise.

EXP : Valeurs d’exploitation.

VRD : Valeurs réalisables et disponibles ; ensemble des créances à court terme de l’entreprise.

Les données ont été ventilées en pourcentage par année, la somme des éléments d’une même ligne vaut 100, de manière à éviter les effets dus à l’inflation. On cherche à répondre aux questions suivantes :

• Quelle a été l’évolution de la structure de bilan sur 15 ans ?
• Peut-on mettre en évidence plusieurs périodes ? Si oui, comment se caractérisent-elles ?