LOCALISATION ET ALGEBRE DES POLYNOMES DANS UN DUO-ANNEAU

GEN ´ ERALIT ´ ES SUR LA ´ LOCALISATION ET SUR L’ALGEBRE HOMOLOGIQUE ` 

Dans ce chapitre, composé de deux sections, nous rappelons les résultats essentiels de la localisation dans un anneau non nécessairement commutatif et de l’alg`ebre homologique. Ainsi dans la section 1, nous définissons la partie multiplicative saturée S engendrée par une partie multiplicative S d’un anneau A vérifiant les conditions de Ore à gauche(respectivement à droite)et nous rappelons (voir [21] ) que dans un duo-anneau A, S existe pour toute partie multiplicative S formée d’éléments réguliers. Nous définissons ensuite l’anneau de fractions (S −1A, iS A) à gauche (respectivement à droite) d’un anneau quelconque A relativement à une partie multiplicative saturée S de A vérifiant les conditions de Ore à gauche (respectivement à droite) à isomorphisme pr`es o`u i S A : A → S −1A est un morphisme d’anneaux, appelé morphisme canonique, vérifiant les conditions de la définition 1.1.8.Nous montrons ensuite la transitivité de la localisation :étant donnés deux anneaux A et B, S et T, deux parties multiplicatives saturées de A et B respectivement vérifiant les conditions de Ore à gauche, f : A → B un homomorphisme tel que f(S) ⊂ T, (S −1A, iS A) et (T −1B, iT B), les anneaux de fractions de A en S et B en T respectivement, alors il existe un homomorphisme f : S −1A → S −1B tel que f( a 1 ) = f(a) 1 pour tout a élément de A et de plus (T −1B, foiS A est un anneau de fractions à gauche de A en S. Nous définissons également le module de fractions (S −1M, hM à isomorphisme pr`es o`u S −1M est un S −1A-module et hM : M −→ S −1M est le morphisme canonique. On rappelle ensuite que le foncteur S −1 () : A − Mod −→ S −1A − Mod est covariant, additif, exact et préserve la projectivité. Dans la section 2, nous rappelons d’abord le vocabulaire de l’alg`ebre homologique notamment les notions de catégorie, de foncteur, de suite et chaine complexe, de résolution injective et projective, de catégorie Comp et de foncteur homologie Hn. Nous rappelons également la définition la définition des modules injectif, projectif et plat et leurs caractérisations, nécessaire à l’élaboration des chapitres 3 et 4. Nous rappelons enfin les définitions des foncteurs dérivés Ext et T or et leurs propriétés essentielles. 

Anneaux et modules de fractions 

 Définition 

Duo-anneau Soit A un anneau, A est dit : – duo-anneau à gauche si tout idéal à gauche est bilat`ere – duo-anneau à droite si tout idéal à droite est bilat`ere – duo-anneau s’il est duo-anneau à gauche et à droite Thése Unique  Localisation et alg`ebre des polynômes dans un duo-anneau – Propriétés homologiques du foncteur S−1 ()  1.1.2 Proposition A est un duo-anneau si et seulement si ∀a ∈ A, aA = Aa Preuve (voir [3]) 

Définition : Partie multiplicative S

oit A un anneau et S une partie non vide de A. On dit que : — S est une partie multiplicative de A si 1A ∈ S et S est stable par multiplication, c’est à dire pour tout x, t ∈ S xt ∈ S — S est une partie multiplicative saturée si : pour tous x, t ∈ A, xt ∈ S implique x ∈ S S et t ∈ S. 

Définition : Conditions de Ore

 Soit S une partie multiplicative saturée d’un anneau A. On dit que S vérifie les conditions de Ore à gauche (respectivement à droite) si : 1. ∀a ∈ A, ∀s ∈ S, ils existent t ∈ S et b ∈ A tels que ta = bs (respectivement at = sb). On dit que S est permutable à gauche (respectivement à droite). 2. ∀a ∈ A, ∀s ∈ S tel que as = 0 (respectivement sa = 0), alors il existe t ∈ S tel que ta = 0 (respectivement at = 0) . On dit que S est réversible à gauche (respectivement à droite).

Exemple 

— L’ensemble des éléments réguliers (c’est à dire non diviseurs de zéro) d’un duoanneau A est une partie multiplicative saturée de A qui vérifie les conditions de Ore à gauche et à droite (voir [21]) ; — Si s est un élément régulier d’un duo-anneau A, l’ensemble S = {s k , k ∈ N} est une partie multiplicative saturée de A qui vérifie les conditions de Ore à gauche et a droite (voir [21]). Thése Unique  Localisation et alg`ebre des polynômes dans un duo-anneau – Propriétés homologiques du foncteur S−1 ()  UCAD-EDMI − Daouda FAYE − Mai 2016 − Page 14 — Si A est un anneau et P un idéal premier de A, alors le complémentaire de P est une partie multiplicative saturée de A (voir [21]). — Si P est un idéal premier de A ; alors l’ensemble des éléments réguliers du complémentaire de P est une partie multiplicative saturée de A qui vérifie les conditions de Ore à gauche et à droite (voir [21]). En particulier Si A est un duo-anneau int`egre , alors : — A − {0} est une partie multiplicative saturée de A qui vérifie les conditions de Ore a gauche et à droite.(voir [21]) — Si P est un idéal premier de A alors A − P est une partie multiplicative de A qui vérifie les conditions de Ore à gauche et à droite. 

Définition 

Soient A un anneau et S une partie multiplicative de A. On appelle partie multiplicative saturée engendrée par S, la plus petite partie multiplicative saturée contenant S notée S si elle existe.

Proposition 

Soit A un duo-anneau et S une partie multiplicative non vide de A formée d’éléments réguliers. Alors S engendre une partie multiplicative saturée S qui vérifie les conditions de Ore. Preuve Soit F l’ensemble des parties saturées de A contenant S et qui vérifient les conditions de Ore à gauche. F n’est pas vide, en effet, l’ensemble des éléments réguliers de A est une partie multiplicative saturée de A contenant S et qui vérifie les conditions de Ore( voir [21]). Donc la plus petite partie multiplicative saturée de A contenant S et qui vérifient les conditions de Ore est appelée partie multiplicative saturée engendrée par S. Thése Unique  Localisation et alg`ebre des polynômes dans un duo-anneau – Propriétés homologiques du foncteur S−1 () 

Exemples

 — Si S est une partie multiplicative saturé qui vérifie les conditions de Ore, alors S¯ = S. — Soit A un duo-anneau et s un élément régulier de A, on a S¯ = {1, s, s1 , s2 , s3 , · · · } 

Définition 

Soient A un anneau et S une partie multiplicative saturée de A. Un anneau B est dit anneau de fractions à gauche de A par rapport à S s’il existe un morphisme d’anneaux i : A → B vérifiant : 1. ∀ s ∈ S, i(s) est inversible dans B 2. ∀ b ∈ B, il existe a ∈ A et s ∈ S tels que b = i(s) −1 i(a) 3. Si i(a) = 0, alors sa = 0∀ s ∈ S.

Notation et Définition 

S’il existe un anneau B vérifiant les conditions de la Définition 1-1-8, on dit que (B, i) est un anneau de fractions à gauche de A relativement à S. Si S est une partie multiplicative saturée de A et si l’anneau de fractions de A en S existe, on le note par (S −1A, iS A) ou S −1A s’il n’y a pas de confusion o`u i S A : A → S −1A est le morphisme canonique. Si a ∈ A, on note i S A(a) = a 1 . 

 Remarques 

Lorsque A n’est pas int`egre, l’application i S A : A → S −1A n’est pas nécessairement injective. Par exemple soit A = Z/6Z et P = 2=  0, 2, 4 . C’est un idéal maximal de A car A/P ∼= Z/2Z qui est un corps. Donc A/P =  1, −1, 3 est une partie Thése Unique  Localisation et alg`ebre des polynômes dans un duo-anneau – Propriétés homologiques du foncteur S−1 ()  UCAD-EDMI − Daouda FAYE − Mai 2016 − Page 16 multiplicative. Comme 2.3 = 0 alors le noyau de i S A contient 2 donc ker(i S A) = P 6=  0 . Par conséquent i S A n’est pas injectif. 2. Le noyau de i S A est l’ensemble des éléments a ∈ A tels qu’il existe s ∈ S vérifiant s.a = 0 3. S’il existe dans S des éléments nilpotents, on a 0 ∈ S et S −1A = {0} 

Proposition 

Soient A un anneau et S une partie multiplicative saturée de A. Supposons que A admet un anneau de fractions à gauche (S −1A, iS A) relativement à S. Alors l’application i S A : A → S −1A est : 1. injectif si et seulement si S ne contient aucun diviseur de zéro 2. bijectif si et seulement tout élément s ∈ S est inversible dans A Preuve (voir [21])

 Proposition (Propriété universelle des anneaux de fractions)

 Soient A un anneau et S une partie multiplicative saturée de A. Supposons que A admet un anneau de fractions à gauche (B, i) relativement à S. Alors pour tout anneau B0 et pour tout morphisme d’anneaux f : A → B0 tel f(s) soit inversible dans B0 pour tout s ∈ S, il existe un unique morphisme d’anneaux f : B → B0 tel que foi = f, en d’autres termes f rend le diagramme suivant commutatif : Thése Unique  Localisation et alg`ebre des polynômes dans un duo-anneau – Propriétés homologiques du foncteur S−1 ()  UCAD-EDMI − Daouda FAYE − Mai 2016 − Page 17 A B0 B i f f¯ Preuve Si f existe, on a nécessairement, pour tout a ∈ A, foi(a) = f(a). Alors pour s 6= 0, 1 = f(1) = f(i(s)i(s) −1 ) = f(s)f(i(s) −1 ) entraine que f(i(s) −1 ) = f(s) −1 . Enfin, comme a s = i(a)i(s) −1 , nécessairement f doit vérifier f( a s ) = f(a)f(s) −1 Ceci montre que f, s’il existe, est nécessairement unique. Montrons maintenant que f est bien définie. Si a s = b t , alors il existe u ∈ S tel que u(at − bs) = 0 (voir [21]). D’o`u f(u)f(a)f(t) = f(uat) = f(ubs) = f(u)f(b)f(s). Comme f(s), f(t), f(u) sont inversibles, on en déduit que f(a)f(s) −1 = f(b)f(t) −1 ; Donc f( a s ) = f( b t ), ce qui montre que f est bien définie. En outre, la relation montre que f est un homomorphisme d’anneaux.