Mécanique des Structures par Eléments Finis

 Elément fini C0 de plaque

Présentation générale

Dans un système de coordonnées rectangulaires (x, y, z), le domaine Ω de la plaque est défini par : Ω=x∈R3;z∈−h 2 ; h 2;(x,y)∈A⊂R2 avec comme notations : – h épaisseur de la plaque – Γm surface de référence (surface moyenne) On complète cette définition par un ensemble d’hypothèses : L’épaisseur h de la plaque est beaucoup plus petite que la plus petite des dimensions latérales dans le plan x0y. MaxkzkMin(Maxkxk;Maxkyk);(x,y,z)∈Ω On effectue alors un DL du champ de déplacements U dans la plaque en puissances de z autour du point à z=0. On écrit alors classiquement : U(x,y,z,t)=U0(x,y,t)+zΩ1(x,y,t)+z2Ω2(x,y,t)+…+zpΩp(x,y,t) avec p∈N+ et : UT 0 ={u(x,y,t),v(x,y,t),w(x,y,t)} ΩT p =ωxp(x,y,t),ωyp(x,y,t),ωzp(x,y,t) On peut donc construire diverses théories plus ou moins raffinées. Dans le cas de la théorie naturelle, on prend alors : p=1 et εzz =0 Une section droite avant déformation à la ligne moyenne demeure donc droite après déformation. Le champ de déplacements est alors donné ci-dessous :    Ux =u(x,y,t)+zωx Uy =v(x,y,t)+zωy Uz =w(x,y,t) (1.2) Dans le cas de l’hypothèse HPP, on considèrera que l’interaction des phénomènes de membrane et de flexion est négligée. Si on considère que la section droite au plan moyen reste perpendiculaire à ce plan au cours de la déformation, on obtient la théorie des plaques minces de Love-Kirchoff qui néglige le cisaillement transverse dans la plaque. L’hypothèse suivante est alors introduite dans le modèle : On considère que la contrainte normale transverse est nulle dans la plaque (c’est à dire que σzz =0). On est donc dans un cas de contraintes planes. Cette hypothèse est en contradiction avec l’hypothèse précédente (εzz =0). Sa justification est purement “pratique”. Cette particularité devra être supportée par la loi de comportement de la plaque. Les déplacements généralisés u, v, w, ωx et ωy sont : – u et v : fonctions de x et y, caractérisent la traction dans le plan de la plaque suivant les directions x et y respectivement. – w : est colinéaire à z (vecteur perpendiculaire au plan moyen). C’est le déplacement normal, c’est à dire la déflexion de Ω. – ωx et ωy : rotations d’un segment droit prélevé sur l’épaisseur de Ω initialement perpendiculaire au plan moyen de la plaque. Un développement à un ordre >1 conduit à des théories plus raffinées (Reddy) permettant de mieux modéliser le cisaillement transverse et de prendre en compte εzz 6=0 et σzz 6=0.

Elements finis de plaque

Il existe globalement 3 catégories d’éléments finis de plaque : – Les éléments de plaque mince basés sur la théorie de Kirchoff. – Les éléments obtenus à partir d’éléments de volume. – Les éléments avec prise en compte du cisaillement transverse.

Elements de type Kirchoff
Il n’est nécessaire de faire qu’une approximation de w seulement, par polynômes complets du 2eme degré au moins (courbure constante); respect de continuitéC1 en adoptant w, θx et θy avec θx =w,y et θy =−w,x. Formulation délicate : – conserver une formulation simple en sacrifiant la conformité de l’élément (problème de convergence).polynôme complet non conforme (Tocher, Zienkiewicz) éléments rectangulaires triangles et quadrilatères conformes (mais quelquefois moins précis ou trop rigides!) – corriger par formulation en sous domaines – approximation d’ordre élevé (coûteux)

 Eléments de volume dégénérés
On transforme l’élément de volume original en imposant certaines modifications tirées de la théorie des plaques : suppression dans l’expression de l’énergie des termes relatifs à σzz, hypothèse sur la variation du déplacement selon l’épaisseur (élimination de d.d.l), intégration explicite sur l’épaisseur et numérique dans le plan moyen..