Méthodes multi-échelles pour les
matériaux cimentaires

 Découpage du domaine Ω

Définition 3.1 On appelle division du milieu Ω ; et on note D ; un d −uplet d’entiers strictement positifs. Le domaine Ω est alors uniformément divisé en D(i) éléments parallélépipédiques selon chaque direction i. Cette division construit donc une discrétisation grossière TH(Ω) de Ω. 

Définition 3.2 On appelle macroélément ; et on note K ; un élément de la discrétisation grossière TH(Ω). En appliquant l’ordre lexicographique aux barycentres des éléments de TH(Ω), chaque macroélément K se voit attribuer un d −uplet d’entiers positifs. Ce d −uplet représente les coordonnées de K au sein de TH(Ω). Généralement, on assimile le macroélément à ses coordonnées, que l’on note tous deux K. Dans le cas 3D, chaque macroélément K est un parallélépipède rectangle dont les arêtes suivent les axes des coordonnées. En posant mK = (xm, ym,zm) et MK = (xM, yM,zM), on a l’égalité suivante : K =]xm, xM[×]ym, yM[×]zm,zM[. (3.3) Définition 3.3 On définit un ordre partiel ≤ sur les macroélements Ka et Kb par la relation suivante : Ka ≤ Kb ⇔ ∀1 ≤ i ≤ d Ka(i) ≤ Kb(i). (3.4) La Figure 3.1 (partie gauche) présente un exemple de division du domaine Ω, pour lequel on a choisi D = (2,2). Définition 3.4 On appelle taux de sur-échantillonnage ; et on note ρ ; un réel positif. On appelle découpage le couple (D,ρ). On appelle cellule ; et on note K ; ˆ l’union du macroélément K et d’une fraction ρ de ses voisins. Par définition, la cellule Kˆ empiète sur les macroéléments connexes de K, comme l’illustre la Figure 3.1 (droite). Dans le cadre 3D, on a l’égalité suivante : 46 CHAPITRE 3. MÉTHODES MULTI-ÉCHELLES. Ω (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) Sˆ 1 Sˆ 2 Sˆ 3 Sˆ 4 S1 S2 S3 S4 ρH H FIGURE 3.1 – Le domaine Ω (en gras) est divisé en macroélements rectangulaires K (ligne solide). La cellule Kˆ (en pointillé), construite à partir de K et d’une fraction ρ de ses voisins, est maillée finement (traits fins gris). Kˆ =]xm −ρ(xM −xm), xM +ρ(xM −xm)[× ]ym −ρ(yM −ym), yM +ρ(yM −ym)[× ]zm −ρ(zM −zm),zM +ρ(zM −zm)[. (3.5) La méthode multi-échelle n’utilise pas nécessairement le sur-échantillonnage : on peut choisir ρ = 0 et retrouver alors Kˆ = K. Remarque 3.1 Il est important de noter que, en pratique, pour des raisons de gestion de la mémoire, le milieu n’est jamais créé entièrement puis découpé. En effet, même si l’on dispose bien d’une description globale du milieu (diffusivités, positions et formes des inclusions, etc.), la construction du milieu (création des géométries, maillage) se fait directement cellule par cellule. Il est cependant parfaitement possible de fusionner tout ou partie des macroéléments pour obtenir une vision d’ensemble du milieu. Les détails pratiques de la construction des cellules (champs de diffusivités, génération de maillages, etc.) sont décrites à la section §4.3, pour la première méthode, et au chapitre §6, pour les deuxième et troisième méthodes. 

Résolution des problèmes de cellules. 

Problèmes de cellules et Volumes Finis. 

Problèmes de cellules

Soit n = 4 (dimension 2) ou n = 8 (dimension 3), on appelle (Si)1≤i≤n les sommets du macroélément K et (Sˆ i)1≤i≤n les sommets de la cellule Kˆ correspondante. Ces notations sont illustrées à la Figure 3.1 (droite). Sur chaque cellule Kˆ, pour chaque 1 ≤ i ≤ n on doit résoudre un problème de cellule : β i est une fonction linéaire continue sur chaque face de ∂Kˆ. En notant δ le symbole de Kronecker, on la définit univoquement par les conditions suivantes : ∀1 ≤ j ≤ n β i (Sˆ j) = δi, j . (3.7).Remarque 3.2 Les conditions aux limites utilisées ici sont des conditions aux limites linéaires mais d’autres possibilités existent. En particulier, on présente dans [28, 120] l’impact positif de conditions oscillantes sur la méthode. Le principe est d’utiliser la solution d’un problème de diffusion à la dimension d − 1 comme conditions aux limites des problèmes de cellule en dimension d. Ces conditions sont cependant difficiles à mettre en œuvre, surtout dans un contexte 3D, puisqu’elles nécessitent alors de résoudre, non pas un problème par sommet, mais un problème par arête, par face et par sommets de K. Même si l’intérêt des conditions oscil- ˆ lantes est certains ; voir à ce sujet la section §3.3.1.1 ; on s’en tient donc, au cours de ces travaux, aux conditions linéaires. 

Principe des méthodes de Volumes Finis

Pour résoudre les problèmes de cellule, deux méthodes numériques appartenant à la famille des Volumes Finis ont été utilisées : les méthodes VF9 et VFDiam. On présente ici le principe général des méthodes de Volumes Finis, tandis que les spécificités des méthodes VF9 et VFDiam sont l’objet des sections suivantes. On quitte, pour le reste de la section, le cas particulier des problèmes de cellules, pour travailler sur un problème elliptique général. Soit ∆ un domaine de R d et soit à résoudre le problème elliptique suivant :  −∇·(A∇u) = 0 dans ∆, u = uD sur ∂∆. (3.8) Soit Th(∆) une discrétisation du domaine ∆. Pour tout élément k ∈ Th(∆), en utilisant la formule de Green, l’équation (3.8) peut s’écrire sous la forme intégrale suivante : ∑ f∈∂ k Z f −A∇u ·nf = 0 (3.9) où nf est le vecteur normal à la face f , sortant de k. Le principe des méthodes de Volumes Finis est de construire un schéma numérique en partant des propriétés du flux Lk, f de u à travers une face f du maillage. Lk, f = Z f (A∇u ·nf) (3.10) 48 CHAPITRE 

MÉTHODES MULTI-ÉCHELLES

 Pour cela, on suppose généralement que uh, la solution approchée de u, est constante sur chaque élément k de Th(∆). On réalise ensuite une approximation L˜ k, f de Lk, f à partir de points caractéristiques du milieu, comme les barycentres de k et f . Certaines des inconnues introduites par l’approximation sont supprimées en utilisant la continuité du flux à travers la face f : ∀ f ∈ ∂ k1 ∩∂ k2 Lk1, f +Lk2, f = 0 (3.11) Pour chaque méthode des Volumes Finis, il faut donc présenter l’approximation L˜ f utilisée. Il est également nécessaire, pour la suite du processus multi-échelle, de déterminer une valeur uh(f) pour chaque face f de Th(∆). Cette quantité n’étant pas naturellement calculée par les méthodes de Volumes Finis, on l’interpole à partir des valeurs connues de uh. Plus de détails sur les méthodes de Volumes Finis, ainsi qu’un grand nombre d’exemples, sont disponibles dans [95]. 

La méthode de Volumes Finis à neuf points VF9.

La première méthode que l’on présentera est la méthode de Volume Finis dite à neuf points ou VF9 introduite par Faille [97]. Cette méthode s’applique dans un cadre bidimensionnel uniquement, et permet de résoudre des problèmes sur un maillage quadrangulaire irrégulier où A est un tenseur discontinu. Comme on le voit dans la suite, l’approximation de Lf fait intervenir quatre éléments du maillage. Utilisée tour à tour sur les quatres cotés d’un élément du maillage, on lie ainsi les valeurs de neuf éléments, d’où le nom de la méthode. Si l’on suppose A diagonal, et que le maillage est rectangulaire «parallèle aux axes», cette méthode est équivalente à la méthode classique des Volumes Finis à cinq points [95]. 

Approximation du flux à travers une face

On considère deux éléments (k – , k + ) adjacents du maillage fin Th(∆), et on appelle f leur arête commune, comme l’illustre la Figure 3.2. On note Gf , hf et n + f respectivement le barycentre, la longueur et la normale extérieure à E + de l’arête f . On suppose la matrice A constante sur chaque élément, de valeurs respectives A – et A + . En notant tA la transposée de A, on a : Lk + , f = Z f (A +∇u ·n + f ) = Z f (∇u · tA + n + f ) Principaux points et droites introduits par le schéma VF9 afin d’approximer le flux à travers la face f = S0S1 (en rouge). . Soit δ + la demi-droite d’origine Gf et de vecteur directeur −tA + n + f . Parmi les éléments voisins de f , il existe alors deux éléments adjacents k + a et k + b , de barycentres G + a et G + b , tel que δ + coupe le segment  G + aG + b  . Nécessairement, k + est l’un de ces deux éléments. On note X + le point d’intersection de δ + et de  G + aG + b  . On introduit uX+ et uGf les valeurs de u en X + et G. On approxime alors le flux à travers f par : L˜ k + , f =−hf a + uX+ −uGf d + f (3.12) où on a posé a + = k tA + n + f k 2 la norme du vecteur tA + n + f et d + f la distance entre les points Gf et X + .On peut écrire une formulation similaire pour Lk – , f . En utilisant (3.11), il vient alors : uGf = d – f a +uX+ +d + f a -uXd – f a + +d + f a – (3.13) On peut donc s’affranchir de uGf pour approximer Lk + , f . Il ne reste plus qu’à exprimer uX+ et uX- en fonction de valeurs aux barycentres des éléments de Th(∆). X + étant sur le segment  G + aG + b  , on note d + a la distance entre G + a et X + , et on définit alors uX+ comme une interpolation linéaire de u + a et u + b : uX+ = 1 d + a +d + b (d + a u + a +d + b u + b ) (3.14) En utilisant (3.13) et (3.14), on obtient finalement l’approximation : 50 CHAPITRE 3. MÉTHODES MULTI-ÉCHELLES. L˜ k + , f =−hf a +a – d – f a + +d + f a –  1 d + a +d + b (d + a u + a +d + b u + b )− 1 d – a +d – b (d – au – a +d – bu – b )  (3.15) 

 Valeurs aux faces

. Soit f une face du maillage fin Th(∆). Si f est une face intérieure à Th(∆), on définit uf la valeur en la face f par le biais de l’équation (3.13). Par définition, cette valeur permet de garantir la continuité des flux à travers f . Si f appartient à la frontière du domaine de travail ∆, on connait explicitement la valeur de u, par le biais des conditions aux limites de Dirichlet du problème (3.8). On choisit de prendre la valeur en Gf . uf =    d – f a +uX+ +d + f a -uXd – f a + +d + f a – si f = ∂ k + ∩∂ k – , uD(Gf) si f ⊂ ∂∆. (3.16)

La méthode de Volumes Finis VFDiam

 Décrite en premier lieu par Coudière et al. dans [79], la méthode de Volumes Finis VFDiam est utilisée par le CEA pour résoudre des problèmes de diffusion dans des milieux où siègent de fortes anisotropies ou de forts contrastes de diffusivités [20], ce qui est le cas, notamment, des matériaux cimentaires. Contrairement à de nombreuses méthodes de Volumes Finis, dont la méthode VF9, la méthode VFDiam s’applique aussi bien en deux qu’en trois dimensions et indépendamment de la forme des éléments du maillage (triangles, tétraèdres, quadrangles ou hexaèdres). On se concentre dans cette section sur le cadre bidimensionnel, où l’on travaille sur un maillage triangulaire. la description du cas 3D est disponible à l’annexe §A. 

Approximation du flux à travers une face

On considère deux éléments adjacents k + et k – du maillage fin Th(Kˆ), et on note f = S0S1 leur face commune. On note Gf le barycentre de f . Les inconnues, respectivement u + et u – , sont situées aux barycentres G + et G – des éléments. On suppose la matrice A constante sur chaque élément, de valeurs respectives A + et A – . La Figure 3.3 illustre les notations employées. La méthode VFDiam s’appuie sur la construction d’un volume autour de la face f , que l’on appelle le volume VFDiam. Il s’agit de l’union des deux demi-élementss diamant k + f = S0S1G + et k – f = S0S1G – , de volumes respectifs V – et V + . On introduit ensuite Gf , le barycentre de f , et les inconnues intermédiaires uSi localisées sur les noeuds Si .