Modèle de syntrophie avec croissance non monotone des bactéries méthanogènes

Dans ce chapitre, on étudie le modèle à deux étapes (4.1) en prenant en compte l’inhibition de la croissance des bactéries méthanogènes (x1) par une forte concentration de l’hydrogène (s1). Ce modèle a été étudié, dans [38], dans le cas où s in 1 = 0, voir aussi [12]. Nous généralisons cette étude au cas où la concentration en hydrogène de l’effluent est non nulle à l’entrée du chémostat. Comme dans le chapitre 4, on détermine les conditions nécessaires et suffisantes sur les paramètres opératoires du système (le taux de dilution D et les concentrations des deux substrats à l’entrée s in 0 et s in 1 ) pour l’existence et la stabilité des équilibres. En utilisant les diagrammes opératoires, on décrit le comportement asymptotique du modèle en fonction des paramètres de contrôle et on étudie l’effet de l’inhibition sur le comportement du système. Dans la section 5.1, on rappelle le modèle à deux étapes et on précise les nouvelles hypothèses sur la fonction de croissance des bactéries méthanogènes. Dans la section 5.2, on décrit les équilibres du modèle et on discute leur stabilité. Ensuite, dans la section 5.3, on illustre l’effet de l’inhibition des bactéries méthanogènes, en traçant les diagrammes opératoires. On fixe le deuxième substrat à l’entrée s in 1 et on décrit les diagrammes opératoires dans le plan défini par s in 0 et le taux de dilution. Enfin, dans la section 5.4, des simulations numériques sont présentées pour illustrer les résultats obtenus.

 Le diagramme opératoire dans le plan (D, sin 0 ), s in 1 fixé

 Dans ce qui suit, on fixe s in 1 et on illustre les domaines d’existence et de stabilité des équilibres dans le plan (D, sin 0 ). Soit F j i (D), i, j = 1, 2, les fonctions qui sont définies par 111 Daoud Yessmine Chapitre 5. Modèle de syntrophie avec croissance non monotone des bactéries méthanogènes (5.7). On définit la courbe γ0 d’équation s in 0 = F0(D), la courbe γ11 d’équation s in 0 = F 1 1 (D) − s in 1 , la courbe γ12 d’équation s in 0 = F 2 1 (D) − s in 1 , γ21 d’équation s in 0 = F 1 2 (D) et γ22 d’équation s in 0 = F 2 2 (D). On note D∗ la solution de l’équation s in 1 = F 1 1 (D) − F 1 2 (D). On se place dans le cas où F 1 1 est définie sur [0, m1 − a1] et F 2 1 est définie sur ]0, m1 − a1]. On note D∗∗ = m1 − a1. Ces courbes avec les droites d’équation D = D∗ et D = D∗∗ séparent le plan (D, sin 0 ) en au maximum huit régions, illustrées dans la Fig. 5.1 et notées A1 , · · · , A8 . Les résultats de la proposition 5.2.2 et la proposition 5.2.3 se résument dans le théorème 5.3.1 qui montre l’existence et la stabilité locale des équilibres S0, S1 et S j i , i = 2, 3 et j = 1, 2, selon les régions A1 , · · · , A8 des diagrammes opératoires, pour un s in 1 donné dans [0, s1max]. Avant d’énoncer et de démontrer le théorème 5.3.1, il est utile de montrer les propriétés suivantes sur les fonctions F0 et F 1 i , i = 1, 2. Lemme 5.3.1. On a • Si D = D∗ alors les trois courbes γ0, γ21 et γ11 se coupent au même point. • Si D < D∗ alors F0(D) > F1 2 (D) > F1 1 (D) − s in 1 . • Si D > D∗ alors F0(D) < F1 2 (D) < F1 1 (D) − s in 1 . • F 2 1 (D) − s in 1 > F2 2 (D), ∀D > 0. Preuve Notons que F 1 1 (D) − F 1 2 (D) = M1 1 (D + a1) . — Si D = D∗ alors s in 1 = M1 1 (D + a1). Donc F 1 2 (D) = M0(D + a0, sin 1 ) = F0(D). Par suite, si D = D∗ alors F 1 1 (D) − s in 1 = F 1 2 (D) = F0(D) . — Si D < D∗ alors s in 1 > M1 1 (D + a1). Donc F 1 2 (D) < M0(D + a0, sin 1 ) = F0(D). D’autre part s in 1 > F1 1 (D) − F 1 2 (D) est équivalente à F 1 2 (D) > F1 1 (D) − s in 1 . Par suite, si D < D∗ alors F0(D) > F1 2 (D) > F1 1 (D) − s in 1 . — En utilisant les mêmes arguments que pour le point précédent, on peut montrer que si D > D∗ alors s in 1 < M1 1 (D + a1) et que F 1 2 (D) > M0(D + a0, sin 1 ) = F0(D). D’autre part s in 1 < F1 1 (D) − F 1 2 (D) est équivalente à F 1 2 (D) < F1 1 (D) − s in 1 . — Comme 0 6 s in 1 6 s1max alors S 2 3 n’existe pas et dans ce cas on a s in 1 < F2 1 (D) − F 2 2 (D). Par suite, si 0 6 s in 1 6 s1max alors F 2 1 (D) − s in 1 > F2 2 (D).  La figure 5.1 montre la position relative des γ0, γij , i, j = 1, 2, et les droites d’équation D = D∗ et D = D∗∗ dans le plan (D, sin 0 ). Notons que si s1in = 0 alors S 1 3 et S 2 3 n’existent pas. De plus, si 0 < sin 1 6 s1max alors S 2 3 n’existe pas.L’inclusion de s in 1 dans le modèle qui prend en compte l’inhibition des bactéries méthanogènes change le diagramme opératoire de [12] et [38]. D’un côté, lorsque s in 1 croît, D∗ augmente et de nouvelles régions apparaîssent sous la droite d’équation D = D∗ . La région de stabilité A8 de S 1 3 , qui correspond à l’extinction de la première espèce, augmente de taille. D’un autre côté, des régions de bistabilité de l’équilibre S1 et S 1 2 apparaissent. Ces régions de bistabilité sont A3 et A4 . Conclusion : Dans ce chapitre, nous avons analysé le modèle ( 5.1) en prenant en compte, en plus du substrat à l’entrée s in 1 , l’inhibition des bactéries méthanogènes hydrogénotrophes. Par rapport à [12, 38], nous avons mis en évidence l’existence de deux nouveaux points d’équilibre : un équilibre qui correspond au lessivage des bactéries acétogènes et à l’existence des bactéries méthanogènes et un deuxième équilibre de coexistence. Nous avons aussi montré l’existence de régions de bistabilité.