Modélisation de la ligne de transmission avec la
méthode numérique Leap-Frog

Méthode des différences finies

 Introduction Dans la nature les systèmes et phénomènes physiques les plus intéressantes sont aussi les plus complexes à étudier. Ils sont souvent régis par un grand nombre de paramètres non linaires interagissant entre eux. L’une des solutions est d’utiliser des modèles mathématiques permettant la représentation du phénomène physique. Ces modèles utilisent souvent des systèmes d’équation aux dérivées partielles (EDP) non linaires dont on ne connaît pas la solution analytique en général. Il faut alors recourir à des méthodes de calcul numérique qui permet d’approcher la solution exacte. Dans notre cas nous nous intéressons à la méthode dite : des différences finies. [4] Les différences finies sont une méthode de résolution numérique des equations aux dérivées partielles (EDP). Cette méthode est basée sur la technique du développement en série de Taylor qui permet d’approcher les dérivées de la fonction en un point voisin en espace et temps. Elle permet de développer des schémas pour remplacer les dérivées premières et secondes des EDP pour pouvoir envisager une solution numérique. C’est une méthode à faible coût de calcul avec une grande simplicité. I.2 Approche des différences finies Toutes les méthodes numériques présupposent la discrétisation du domaine géométrique. C’est à dire il faut définir un domaine numérique constitué par un ensemble de points discrets appelé grille de calcul. Ce domaine nous permet de passer d’un problème continu à une infinité d’inconnues à un problème discret ne comptant qu’un nombre fini d’inconnues. Pour notre cas nous présenterons deux cas de discrétisation à pas égale :celle d’une 3 dimension et celle à deux dimension. 

Discrétisation et maillage 

 maillage à une dimension 1D 

Dans ce cas ici on discrétise l’intervalle continu [a,b] en un nombre fini de points xi .(Voire figure I.1).

Traitement de la ligne de transmission

Les lignes de transmission permettent le transfert des informations. Les distances à couvrir et la technologie utilisée dépendent du type d’information. Ainsi, Les lignes utilisées pour les liaisons téléphoniques transatlantiques sont des fibres optiques de plusieurs milliers de kilomètres de longueur propageant des ondes électromagnétiques à des fréquences élevées, alors que celles reliant les composants électroniques dans un circuit intégré sont des pistes de quelques microns de long propageant des ondes électriques et électromagnétiques à des fréquences allant de quelques Hz à quelques GHz. Elles ont toutes pour but de guider l’information sans perturbation, c’est à dire sans trop d’atténuation ou de déformation [16]. Dans le domaine des télécommunications le problème est évident. Les distances à couvrir sont telles quelque soit la fréquence des signaux il faut tenir compte des phénomènes de propagation. La difficulté est l’acheminement des informations entre différents points. La transmission des informations peut se faire par voie hertzienne (propagation libre) ou par guidage. En ce qui concerne les « guides », Il en existe plusieurs types : Les lignes « bifilaires » composées de 2 (ou plus) conducteurs capables de transmettre l’information, les câbles coaxiaux, les lignes micro-rubans, les guides d’onde métalliques utilisés pour acheminer des ondes électromagnétiques de hautes fréquences et les fibres optiques utilisées sur des très grandes distances. Dans ce chapitre, nous présenterons les différents types de lignes ainsi que leur domaine d’utilisation. Nous traiterons les phénomènes de propagation prenant naissance sur les lignes lors de leur utilisation pour le transport des signaux sur une distance grande devant la longueur d’onde.

Étude de la ligne de transmission

La ligne quelque soit son modèle est un vecteur d’information. L’Étude de la ligne de transmission en détail est nécessaire pour la maîtrise du transfert de l’information. En fonction des applications nous avons principalement trois grands types de lignes, la ligne coaxial, la ligne micro-ruban, la ligne bifilaire. 

 La ligne bifilaire 

une ligne bifilaire est une ligne de transmission constituée de deux fils parallèles séparés par de l’air ou un autre isolant. Elle est économique, mais souffre de plusieurs inconvénients par rapport à son concurrent, la ligne coaxial. Elle doit être placée suffisamment loin des murs, gouttières etc car la présence d’objet surtout métallique influence la propagation du signal. La ligne bifilaire a été utilisée pour relier une antenne de réception TV. [14]. Figure II.1 – modèle d’une ligne bifilaire 

la ligne coaxiale 

la ligne coaxiale est une ligne de transmission composée d’un câble à deux conducteur ; l’âme centrale, qui peut être mono-brin (en cuivre ou en cuivre argenté, voir un acier cuivré) est entourée d’un matériau diélectrique (isolant). Le diélectrique est entouré d’une tresse conductrice (ou feuille d’aluminium enroulé), puis d’une gaine isolante et protectrice. Ce type de câble est utilisé pour la transmission de signaux numériques ou analogiques à haute ou basse fréquence. L’usage du câble coaxial s’étend à toute application dans laquelle un signal doit subir un minimum de déformation et d’affaiblissement, ou à celles où l’élimination des interférences extérieures est prépondérante. L’utilisation des câbles coaxiaux aide à résoudre les problèmes que posent les lignes bifilaires : la construction des 9 coaxiaux de deux conducteurs (conducteur central et blindage) séparés par un diélectrique empêche la réception de rayonnements et l’échappement de l’onde électromagnétique [7].(Voire figure II.2) Figure II.2 – modèle d’une ligne coaxiale 

La ligne micro-ruban

 Elle est constituée d’un substrat en diélectrique (époxy, teflon,…) entièrement métallisé sur une de ses faces (plan de masse), comportant une piste conductrice sur l’autre face. [2] En fonction de l’application et de l’emplacement on peut avoir différentes tailles et formes de la ligne. La ligne micro-ruban est très important, contrairement aux autres elle peut être miniaturisée c’est pourquoi elle occupe en grande partie les appareils (téléphone, radios navigation…).(Voire figure II.3) Figure II.3 – une ligne micro-ruban II.3 Caractéristiques à prendre en compte pour les lignes 

 Impédance caractéristique 

Zc Terme représentant le rapport entre la tension et le courant sur une ligne homogène. 10 Une bonne transmission de l’information repose sur un très bon transfert de l’énergie ce qui suppose une bonne adaptation des impédances à l’entrée et la sortie de la ligne. Cette bonne adaptation se produit quand l’impédance des terminaisons est égale à l’impédance caractéristique du câble. Dans le cas des câbles coaxiaux, on trouve trois classes principales d’impédances caractéristiques : 50Ω , 75Ω et 95Ω. Pour les paires torsadées 120Ω. Pour les lignes bifilaires 200Ω. L’impédance caractéristique pour une portion de ligne est donnée par : Zc = s R + jwL G + jwC et pour une ligne sans perte elle est donnée par : Zc = qL C 

 Vitesse de propagation

 C’est la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le diélectrique dont est constituée la ligne. Pour une ligne sans perte cette vitesse est fonction des caractéristiques intrinsèques de la ligne : la capacité et l’inductance. Elle est donnée par : V p = √ 1 LC V p : vitesse de propagation pour une ligne sans perte 

 Atténuation

 C’est l’ensemble de pertes qui apparaissent lors de la propagation d’un signal dans un câble. L’atténuation que se soit dans les lignes de transmissions ou dans la transmission hertzienne est une grandeur importante dans les télécommunications. l’affaiblissement par unité de longueur est une caractéristique d’une ligne de transmission qui indique que la puissance du signal subit une décroissance exponentielle selon la distance.Elle est donnée par : A = e −αl α constante d’affaiblissement en néper par unité de longueur l= distance 

 Modélisation de la ligne de transmission 

Pour comprendre le fonctionnement de la ligne de transmission il est primordiale de connaître ses caractéristiques intrinsèques. La modélisation nous permet de mieux comprendre le fonctionnement de la ligne de transmission et ainsi maîtriser le transfert de l’information. Modéliser la ligne revient à chercher un circuit basé sur des composants simples capables de reproduire le comportement de la ligne. Le circuit équivalent de la ligne de transmission est donné pour une portion ∆z.