Modélisation de systèmes linéaires

Systèmes linéaires
Définitions

Système 
amplificateur, moteur, mécanisme, combinaison de mécanique et d’électronique… tout système disposant d’une commande ou d’un signal d’entrée et restituant une grandeur en sortie.

Système linéaire 
Système dont les grandeurs caractéristiques sont liées par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Les paramètres a1, a0, b2, b1 et b0 sont constants (ils ne varient pas avec le temps) et dépendent des éléments internes du système.
L’ordre du système est défini par l’ordre de dérivé le plus haut.

Système linéaire du premier ordre

Exercice 1 : quadripôle RC

1. Trouver la relation entre s(t), e(t), R et C.
2. Montrer que l’on peut mettre l’équation différentielle sous la forme canonique :

Forme canonique d’un système linéaire du premier ordre

 est la constante de temps du système (s). formule 2

1.3 Système linéaire du second ordre

Exercice 2 : quadripôle RLC

1. Montrer que formule 3
2. On pose et formules 4 et 5
Mettre l’équation différentielle sous sa forme canonique. Forme canonique d’un système linéaire du second ordre

0 est la pulsation propre du système (rad.s-1).
m est le coefficient d’amortissement (ss dim.). formule 6
2. Comportement dynamique d’un système linéaire
2.1 Généralités
Si on modifie l’entrée d’un système, ce dernier va réagir. La sortie va varier en passant d’abord par une phase transitoire puis par une phase d’équilibre.
Exemple
Entrée
ou commande
ou consigne figure 4
Sortie
Elle s’adapte plus ou moins vite à la nouvelle valeur d’entrée. figure 5Selon que le système soit du premier ou second ordre, le régime transitoire est différent. On peut caractériser un système linéaire et déterminer son ordre sans qu’il soit nécessaire d’établir les équations différentielles. Pour cela on choisit un signal d’entrée particulier, appelé excitation, servant à tester ou à modéliser le système.
Une excitation typique est l’échelon tel qu’il est représenté en figure 4. Le signal e(t) passe subitement de 0 à une valeur non nulle. On parle aussi de saut d’indice. La réponse de s(t) à un échelon s’appelle une réponse indicielle.

Réponse indicielle d’un système d’ordre 1
Equation différentielle : voir la formule 2.
Conditions initiales : s(0) = 0 ; e(0-) = 0 ; e(0+) = X∞.

Nécessité des systèmes en boucle fermée.

Insuffisance des systèmes en boucle ouverte
Exemple
A partir d’une commande en tension ve, on souhaite contrôler la vitesse de rotation S d’un moteur à courant continu selon la relation . Ce contrôle se fait par l’intermédiaire de la tension d’alimentation Ua. Plusieurs phénomènes vont perturber le système : frottement, pertes par effet joule, …Par exemple si la charge entraînée par le moteur varie, du fait des pertes par effet joule la vitesse de rotation va légèrement varier sans que la commande ve change. Le système en boucle ouverte manque donc de fidélité ou de précision.

Système en boucle fermé
On réalise un système en boucle fermée en soustrayant de la grandeur de commande vc une grandeur v qui dépend de la grandeur de sortie. Le système est décrit par un schéma bloc. Le système en boucle fermée permet de limiter les influences des perturbations. Supposons en effet que, la grandeur de commande vc étant constante, une perturbation provoque une diminution de la vitesse de sortie s. La chaîne de retour fait alors apparaître une diminution de la grandeur de retour v.La grandeur d’entrée va donc augmenter et la vitesse également. Elle va augmenter jusqu’à ce que la tension s’annule. Remarquer que ce résultat est obtenu sans qu’il soit nécessaire de connaître l’origine de la perturbation.