Modélisation des imperfections de fabrication et du comportement géométrique des
liaisons

Introduction

Ce chapitre s’intéresse au développement d’une méthode de modélisation des défauts de forme et à leurs impacts dans le comportement géométrique de systèmes mécaniques. Il a été montré Modélisation des imperfections de fabrication et du comportement géométrique des liaisons Chapitre 2 : Modélisation des imperfections de fabrication et du comportement géométrique des liaisons 33 dans quelques travaux que les défauts de forme, jouent un rôle non négligeable dans l’assemblage de systèmes mécaniques. Lê et al. (2014) ont montré au travers d’études expérimentales et théoriques les impacts des défauts de forme sur une liaison constituée de deux surfaces planes. Grandjean et al. (2013) ont aussi montré que les défauts de forme peuvent conduire à de nombreux cas d’impossibilité d’assemblage. Ainsi, le premier objectif de ce chapitre est de proposer une méthode de modélisation des défauts de forme observés sur les surfaces des pièces fabriquées. La modélisation du comportement géométrique d’un système mécanique passe par un ensemble de contraintes traduisant les relations entre ses différentes pièces mécaniques et ses différents types de contacts. Ces contraintes doivent désormais prendre en compte les défauts de forme. Le deuxième objectif de ce chapitre est de proposer une méthode de modélisation du comportement géométrique d’un système mécanique hyperstatique, qui prend en compte les différents types de contacts (fixe, glissant et flottant) et les défauts de forme. Le chapitre est organisé de la façon suivante : la section 2.2 présente premièrement une liste non-exhaustive de méthodes permettant de modéliser des défauts de forme. Ensuite, une comparaison est réalisée entre les différentes méthodes de modélisations afin de choisir la méthode la plus adéquate avec les développements mathématiques associés à l’analyse des tolérances présentés dans le chapitre 1. La méthode de la Décomposition Modale Métrique (DMM) est par la suite décrite car elle représente la méthode proposée pour la modélisation des défauts de forme et introduite dans les formulations mathématiques de l’analyse des tolérances des systèmes mécaniques hyperstatiques. La section 2.3 présente tout d’abord un état de l’art sur les différentes modélisations des assemblages en considérant les différents types de contact. Puis, une méthode est proposée pour modéliser géométriquement le comportement des mécanismes hyperstatiques en considérant les différents types de contact. Et à la fin, la nouvelle procédure proposée pour réaliser l’analyse des tolérances de mécanismes hyperstatiques en considérant les défauts de forme et les différents types de contact est décrite. Une synthèse de tous les développements de ce chapitre est détaillée dans la section 2.4.

Modélisation des imperfections de fabrication : les défauts de forme

Les variations géométriques des pièces sont omniprésentes tout au long du cycle de vie des produits en partant de la conception, en passant par la fabrication, l’inspection, l’assemblage et enfin durant son utilisation. Chapitre 2 : Modélisation des imperfections de fabrication et du comportement géométrique des liaisons 34 Plusieurs méthodes existent dans la littérature et permettent de modéliser les défauts de forme des surfaces de pièces mécaniques. Parmi ces méthodes, nous pouvons citer sans être exhaustif : les courbes et surfaces de Bézier, les courbes et surfaces B-spline, les courbes et surfaces NURBS (David F. Rogers, 2001; Les Piegl et Wayne Tiller, 1997), la transformée discrète de cosinus (Huang et Ceglarek, 2002), la transformée discrète de Fourier, le Skin modèle (Schleich, 2017), la décomposition modale discrète, les polynômes de Zernike (Zernike, 1942), les polynômes de Tchebychev (Favreliere, 2009), la décomposition en ondelettes (Favreliere, 2009), les harmoniques sphériques (Wyant et Creath, 1992), les champs aléatoires, l’analyse modale géométrique, la méthode de bruit blanc. De cette liste non exhaustive, deux catégories peuvent être distinguées : (1) celle qui permet de représenter les surfaces géométriques complexes continues avec des défauts de forme, (2) et celle qui modélisent mathématiquement les défauts de forme de surfaces discrètes. Une revue et une comparaison de ces différentes méthodes de modélisation de défauts de forme est donnée par Abhishek Das 2016, Yan et Ballu (2018). La Figure 2.1 présente une classification de méthodes de modélisation des défauts de forme tirée de Yan et Ballu (2018). Une liste non-exhaustive de ces méthodes de modélisation des défauts de forme est présentée dans les sous-sections qui suivent. L’ensemble des techniques de cette liste ont été implémentées et comparées. 

Les méthodes paramétriques

Le paramétrage des contours, des surfaces et des volumes est une technique souvent utilisée dans la conception pour modéliser les caractéristiques continues des pièces. Des méthodes sont utilisées comme les courbes et surfaces de Bézier, les courbes et surfaces B-Spline et enfin des courbes et surfaces NURBS. Ce sont des outils bien connus et généralement utilisés en Conception Assistée par l’Ordinateur (CAO) ou par les systèmes de fabrication. Ces méthodes sont nommées dans leur ordre chronologique car les courbes et surfaces B-Spline sont une Chapitre 2 : Modélisation des imperfections de fabrication et du comportement géométrique des liaisons 36 généralisation des courbes et surfaces Bézier, de même que les courbes et surfaces NURBS sont une généralisation des courbes et surfaces B-Spline. La courbe de Bézier est une courbe polynômiale paramétrique qui permet de décrire la forme des surfaces dans la conception. Le concept a été développé pour la première fois par un ingénieur français Pierre Bézier de la société Renault en 1962. Les courbes et surfaces de Bézier sont définies par l’intermédiaire des points nommés points de contrôle et par la base de Bernstein. Un exemple de courbe de Bézier avec cinq (5) points de contrôle est représenté sur la Figure 2.2. Les descriptions mathématiques des courbes et surfaces de Bézier peuvent être trouvées dans (Les Piegl et Wayne Tiller, 1997).