Modélisation numérique sous Matlab

1. Grandes lignes de la méthode des éléments finis
1.1 Exposé de la démarche
1.2 Un exemple détaillé
2. Utilisation du pdetool
3. Applications
3.1 Application 1
3.2 Application 2
3.3 Application 3
3.4 Application 4
3.5 Application 5

1 Exposé de la démarche

La méthode consiste à rechercher une solution approchée de la solution exacte sous la forme d’un champ F(M,t) défini par morceaux sur des sous domaines de W. Les n sous domaines W doivent être tels que où W désigne l’intérieur de W i sont une partition de Les champs )t,M(f~ii . Autrement dit, les W , définis sur chaque sous domaines sont des champs choisis parmi une famille arbitraire de champs (généralement polynômiaux).
La famille de champs locaux est appelée espace des fonctions d’interpolation de l’élément.
La famille de champs globaux )t,M(F~, obtenus par juxtaposition des champs locaux est appelée espace des fonctions d’interpolation du domaine. Le champ dans chaque sous domaine W est déterminé par un nombre fini de valeurs du champ (ou de valeurs de ses dérivées) en des points choisis arbitrairement dans le sous domaine, et appelés uds. Le champ local est une interpolation entre les valeurs aux noeuds. Le sous domaine muni de son interpolation est appelé élément.
Chercher une solution par éléments finis consiste donc à déterminer quel champ local on attribue à chaque sous domaine pour que le champ global )t,M(F~obtenu par juxtaposition de ces champs locaux soit proche de la solution du problème.

2 UN EXEMPLE DETAILLE :

On se propose de rechercher une solution approchée du problème suivant :
Trouver f(x) dans le domaine W = [0, 1] satisfaisant l’équation différentielle : avec les conditions aux frontières de …
Dans ce problème, est un domaine de dimension 1 et le temps n’apparaît pas. Pour décrire le domaine, on n’a besoin que d’une seule variable x. L’équation à résoudre est donc une équation différentielle ordinaire. La frontière se réduit à deux points.
2.1 Choix du maillage
On divise arbitrairement en trois mailles de même taille (voir figure 4): Figure 4: Maillage du problème..
2.2 Choix des noeuds et des champs locaux 
On décide de prendre des éléments à 3 noeuds, et pour la famille de champs locaux des polynômes de degré 2. Les noeuds sont choisis aux extrémités et au milieu de chaque maille.
On peut alors déterminer chaque champ local en fonction des valeurs aux 3 noeuds.
Remarquer que le fait d’avoir utilisé des noeuds aux extrémités de chaque élément présente deux avantages :
1 – Le nombre de noeuds est réduit, car il y a des noeuds communs à deux éléments.
2 – On assure ainsi une continuité C de la solution approchée : les champs locaux de deux éléments voisins auront la même valeur à leur nud commun.
2.3 Formulation variationnelle du problème
On montre en analyse fonctionnelle que où y(x) et h(x) et doivent satisfaire certaines conditions de régularité qu’on n’explicitera pas ici.
Autrement dit, résoudre l’équation différentielle est équivalent à chercher f(x) tel que :
Cette formulation est une formulation variationnelle (on dit aussi formulation intégrale ou encore formulation faible) du problème.
On obtient une autre formulation variationnelle en utilisant l’intégration par parties :
Compte tenu des conditions aux limites, f(0)=0 et Œ )x(df ß ø = œ 0 dx = 1x , une autre formulation variationnelle du problème est donc : Trouver f(x) tel que..


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