Modules injectifs projectifs et plats

Catégories, foncteurs et suites exactes 

Définition : Une catégorie est la donnée : 1°) d’ une classe ob(C) dont un élément est appelé objet de C. 2°) d’un ensemble noté HomC(M,N) (pour tout couple (M,N) d’objets de C) dont les éléments sont appelés les morphismes de M dans N. 3°) d’une application : HomC(M,N)xHomC(N,P) →HomC(M,P) (f , g) ι → g o f appelée composition des applications. Pour tout triplet (M,N,P) d’objets de C. Cette application doit satisfaire aux deux axiomes suivants : (cat1) : Pour tout quadruplet (M,N,P,Q) d’objets de C et pour tout triplet (f,g,h)deHomC(M,N)xHomC(N,P)xHomC(P,Q) on a : hCo (gCo f) = (hCo g)Co f (cat2) : Pour tout objet M de C, il existe un morphisme 1M de HomC(M,N) tel que : Pour tout objet N de C et pour tout morphisme f de HomC(M,N) on a : f o1M = f Pour tout objet N de C et pour tout morphisme g de HomC(N,M) on a : 1M o g = g Un morphisme f de M dans N est noté M →f N.

Modules injectifs projectifs et plats

2.1.2 Définition : C et C’ sont deux catégories. Un foncteur covariant F de C dans C’ est la donnée : 1°) d’ un objet F(M) de C’ pour tout objet M de C 2°) d’ un morphisme F(f) : F(M) → F(N) de C’ pour tout morphisme f : M → N de C 3°) F(gof) = F(g)oF(f) pour tout triplet (M,N,P) d’objets de C. Et pour tout couple (f,g)∈HomC(M,N)xHomC(N,P) 4°) F(1M) = 1F(M) pour tout M objet de C 

Définition : C et C’ sont deux catégories

Un foncteur contravariant F de C dans C’ est la donnée : 1°) d’ un objet F(M) de C’ pour tout objet M de C 2°) d’ un morphisme F(f) : F(M) → F(N) de C’ pour tout morphisme f : N → M de C 3°) F(gof) = F(f)oF(g) pour tout triplet (M,N,P) d’objets de C. Et pour tout couple (f,g)∈HomC(M,N)xHomC(N,P) 4°) F(1M) = 1F(M) pour tout M objet de C 2.1.4 Définition : M1, M2, M3 sont des R-modules. Une suite de R-modules et de R-morphismes de R-modules : M1 f → M2 g → M3 est dite exacte si Imf = Kergf 2

Définition : M1, M2, M3, M4 sont des R-modules. M1 f → M2 g → M3 h → M4 est une suite exacte en M2 si Imf =Kerg M1 f → M2 g → M3 h → M4est une suite exacte en M3 si Img = Kerh Remarque :Une suite est dite exacte si elle l’est en chacun de ses modules. Cas particuliers : M1et M2 sot des R-modules. O →M1 f → M2 est une suite exacte si et seulement si f est injective