Optique quantique en variables continues

Variables continues en mécanique quantique 

La description habituelle des systèmes quantiques est la description de Von Neumann, o`u chaque opération physique sur un état est décrite par un opérateur. On peut distinguer deux Optique quantique en variables continues types d’opérateurs : ceux dont le spectre est discret (éventuellement infini), et ceux dont le spectre est continu. Du fait de leur simplicité conceptuelle, les systèmes discrets ont été expérimentalement les premiers étudiés. Les systèmes à deux états sont les plus simples, et ont débouché (entre autres) sur le calcul quantique avec des qubits. En particulier, un des exemples les plus utilisés en optique est l’état de polarisation d’un photon unique, qui peut s’exprimer comme combinaison linéaire des polarisations horizontale et verticale : |ψi = 1 p |cV | 2 + |cH| 2 (cV |V i + cH |Hi) o`u (cV , cH) ∈ C 2 . C’est cet état (ou son analogue pour le spin) qu’a utilisé Bohm pour “traduire” en termes de variables discrètes l’expérience de pensée de Einstein, Podolsky et Rosen [Bohm, 1951, Einstein et al., 1935]. Par exemple, l’état |Φ +i = 1 √ 2 (|V V i + |H Hi) est un état intriqué de deux photons. De nombreux problèmes en physique atomique se réduisent également à l’étude de systèmes à 2 niveaux (ou quelques niveaux tout au plus). Plus récemment, l’information quantique s’est intéressée aux variables à spectre continu. Ces variables sont a priori beaucoup plus riches que les variables discrètes. Le premier exemple de telles variables en mécanique quantique sont la position et l’impulsion d’une particule, dont l’analogue en optique quantique sont les composantes de quadrature conjuguées d’un mode du champ électromagnétique. Cette analogie résulte directement de la quantification du champ, qui permet de décrire un mode comme un oscillateur harmonique quantique [Grynberg et al., 1997, Fabre, 1997]. On considère un mode du champ électromagnétique, correspondant à une onde plane de polarisation et de direction fixées, de pulsation ω. En physique classique, le champ électrique associé peut s’écrire : E(t) = E0 cos(ωt + ϕ) = EP cos(ωt) + EQ sin(ωt) (1.1) E0 et ϕ sont respectivement l’amplitude et la phase de l’onde. EP et EQ sont les amplitudes des deux quadratures du champ dans le repère de Fresnel. On notera que pour une description en termes de quadratures, comme pour une description en termes de phase et amplitude, il est nécessaire de fixer l’origine des phases (ou de choisir la base dans le plan de Fresnel). Dans le cadre d’une description quantique, le champ électrique se définit à partir des opérateurs de création et d’annihilation de photon : Eˆ(t) = E0(ˆa e−ı ωt + ˆa † e ı ωt) ≡ E0(Pˆ cos(ωt) + Qˆ sin(ωt)) (1.2) o`u E0 est une constante de normalisation qui correspond au champ électrique associé à un photon. Ainsi, les opérateurs de quadratures Pˆ et Qˆ s’expriment : Pˆ = ˆa + ˆa † (1.3a) Qˆ = −ı  aˆ − aˆ †  (1.3b) L’intérˆet des variables continues par rapport aux variables discrètes est double. En effet, si les concepts théoriques sont plus difficiles à manipuler, les systèmes expérimentaux sont plus simples à mettre en œuvre : un faisceau lumineux est directement obtenu à la sortie d’un laser, tandis que la production de photons uniques est encore à l’heure actuelle l’objet à part entière de certaines expériences. Les techniques de mesure sont elles aussi nettement moins complexes et moins coˆuteuses. Par ailleurs, les possibilités offertes à l’optique quantique en variables continues sont très riches (débit plus important, instruments de mesure plus précis et donc plus sensibles, …).

Fluctuations du champ 

Etat vide – ´ Etat cohérent ´

 Un état particulier est le vide, pour lequel toutes les composantes de quadrature présentent la mˆeme variance de bruit : (∆Pˆ vac) 2 = (∆Qˆ vac) 2 = 1 (1.9) Cet état définit ainsi une référence pour les fluctuations, qu’on appellera par la suite “limite quantique standard” ou “bruit quantique standard”. Ces fluctuations correspondent aux fluctuations d’un oscillateur matériel au repos autour de sa position d’équilibre. Cette référence a longtemps été considérée comme une limite infranchissable – on sait aujourd’hui que ce n’est pas tout-à-fait exact. L’état quantique dont les propriétés sont les plus proches de celles d’un champ classique est obtenu en superposant à ce dernier les fluctuations du vide. De tels états, introduits par Glauber en 1963 [Glauber, 1963, Glauber, 1965], sont appelés états cohérents. Le vide est donc un état cohérent de valeur moyenne nulle, c’est-à-dire dont le nombre moyen de photons est nul. Les états cohérents sont notés |αi, et ils sont vecteurs propres de l’opérateur annihilation pour la valeur propre α : aˆ |αi = α |αi (1.10) 

Bruit quantique de la lumière

 Il est possible de donner une image simple en termes corpusculaire des fluctuations d’intensité du champ dues à la nature quantique de la lumière, qui sont appelées “bruit de grenaille” (“shot noise”en anglais). En effet, la lumière “classique” (assimilée à un état cohérent) est constituée de photons, qui sont répartis aléatoirement dans le temps au sein du faisceau, suivant une distribution Poissonnienne 1 . Lorsque les photons arrivent sur un détecteur (par exemple une photodiode), si ce dernier est suffisamment rapide, il va détecter des fluctuations autour de la valeur moyenne de l’intensité, dues à l’arrivée pendant le temps d’intégration du détecteur d’un nombre de photons plus ou moins important (cf. Fig. 1.1). Le bruit de grenaille de la lumière est ainsi l’analogue optique du bruit que ferait un jet de sable frappant une plaque métallique. On a vu que la quantification du champ en quadratures conjuguées s’appuie sur la représentation de Fresnel du champ électromagnétique. Pour cette raison, une représentation courante du bruit quantique consiste à superposer dans le plan de Fresnel un champ classique et ses fluctuations (cf. Fig. 1.2). Le champ classique est représenté – comme à l’habitude – par un vecteur dont la norme donne l’amplitude, et l’angle par rapport à la quadrature de référence donne la phase. La nature quantique de la lumière fait apparaˆıtre des fluctuations du champ autour de cette valeur moyenne : la pointe du vecteur devient une notion vide de sens. Simplement, lorsqu’on effectue un grand nombre de mesures de la quadrature Pˆ, on va pouvoir établir un histogramme des valeurs obtenues, ce qui donne une distribution Gaussienne de variance (∆Pˆ) 2 . Il en est de mˆeme pour Qˆ (ou pour tout autre quadrature mesurée). On schématise ces distributions par une surface, le contour de cette surface étant tel que la distance à la position moyenne de la pointe du vecteur donne la variance de bruit pour chaque quadrature. Dans le cas d’un état cohérent, o`u la variance de bruit pour toutes les quadratures est égale à celle du vide, ce contour est un disque de rayon 1.