Processus Stochastiques

Définition

Un processus aléatoire (ou stochastique) (p.s.) peut être défini de deux façons:
* une application de S — l’espace des réalisations — dans un espace de fonctions de variable réelle (temps)
que, à chaque événement élémentaire fait correspondre une fonction du temps;
* une collection de variables aléatoires indexées
où est une variable aléatoire pour chaque t.
Les deux définitions sont équivalentes, et on utilisera une et l’autre selon le problème en étude.
La figure suivante illustre ces deux définitions:

Exemple
Dans cet exemple on considère un processus aléatoire défini à partir d’une seule variable aléatoire uniformément distribuée en [0,1], de la façon suivante: où est le résultat de la division entière de a par b, et est un nombre irrationnel. La figure suivante illustre une des réalisations possibles de ce processus. Le caractère aléatoire du processus est plus clairement mis en évidence par la figure suivante, où sont représentées trois réalisations du processus, obtenues à partir de trois conditions initiales différentes:

Exemple
Dans cet exemple, on présente un processus qui est plus naturellement modélisé comme un ensemble de variables aléatoires indexées. Considérons le procéssus aléatoire discret où les variables aléatoires sont iid, gaussiennes, de moyenne nulle et variance .La figure suivante illustre quelques réalisations de ce processus.

Caractérisation statistique

Caractérisation d’ordre N
La caractérisation d’ordre N d’un processus aléatoire consiste à spécifier la densité de probabilité conjointe de tous les ensembles , :

Exercice: Déterminer la caractérisation d’ordre 1 des processus des exemples 1 et 2.
Déterminer la caractérisation d’ordre 2 du processus de l’exemple 2.

 Caractérisation complète
La caractérisation complète d’un processus consiste à spécifier sa caractérisation d’ordre N pour toutes les valeurs de N finies ( ).

Caractérisation partielle
Au lieu de spécifier une densité de probabilité, on défini certaines caractéristiques de la densité conjointe. On utilisera surtout la caractérisation partielle d’ordre deux, qui fait intervenir seulement deux variables aléatoires, .

Moments
Moment d’ordre 1 (moyenne)

On notera que la moyenne d’un processus aléatoire, définie comme la valeur moyenne de chacune des variables aléatoires qui constituent le processus, est une fonction déterministe de variable réelle. Moments d’ordre 2 (auto-corrélation et covariance).La fonction d’auto-corrélation est le moment non-centré d’ordre deux du p.s.:

Propriétés
Une fonction d’auto-corrélation est définie non-négative, c’est à dire,De la même façon, si R(t,s) est une fonction définie non-négative, on peut toujours trouver un processus d’ordre deux (c.a.d, de valeur moments d’ordre deux finis), dont la fonction d’auto-corrélation est R(t,s).

Une fonction d’auto-corrélation est symétrique (pour variables réelles) :Ceci découle directement de la définition.

 Fermeture
Si R(t,s) et P(t,s) sont des fonctions d’auto-corrélation, alors
• R(t,s)+P(t,s) est aussi une fonction d’auto-corrélation
• R(t,s)P(t,s) est aussi une fonction d’auto-corrélation
• Si a,b>0, alors aR(t,s)+bP(t,s) est encore une fonction d’auto-corrélation
• Formes bilinéaires
Pour toute fonction f(t), R(t,s) =f(t)f(s) est une fonction d’autocorrélation.
La fonction de covariance est le moment centré d’ordre deux:On défini encore le coefficient de corrélation, qui est une mesure normalisée de la corrélation statistique entre les variables correspondantes aux deux instants du temps, t et u:Le module du coefficient de corrélation est toujours inférieur à 1 (vérifier cette affirmation).
On remarque que les trois fonctions qu’on vient de définir sont des fonctions réelles (déterministes) de deux variables réelles.