Propagation d’une onde acoustique dans un milieu
piézoélectrique contraint

La propagation des ondes ultrasonores dépend des propriétés élastiques des matériaux, mais elle est également sensible à d’autres phénomènes tels que la présence de contraintes résiduelles ou appliquées. Cette présence de contraintes va se traduire dans les relations non-linéaires entre contrainte et déformation ; la théorie de l’élasticité linéaire décrite par la loi de Hooke n’est donc plus suffisante. Le comportement élastique non-linéaire d’un matériau peut-être abordé en étudiant la dépendance des paramètres électroacoustiques en fonctions des vitesses de propagation vis-à-vis des contraintes (acoustoélasticité). Pour développer les équations du mouvement, il faut tenir compte à la fois des déformations dynamiques occasionnées par le passage de l’onde, mais aussi des déformations statiques concomitantes à la présence de contraintes. La méthode présentée consiste à étudier la propagation des ondes acoustiques dans un milieu piézoélectrique contraint électriquement et mécaniquement afin d’en déduire les expressions des vitesses de propagation et du coefficient de couplage en fonction des constantes élastiques, piézoélectriques et diélectriques effectives. 

Généralités sur les grandeurs mécaniques

Déformations

 Considérons la déformation d’un solide sous l’action d’une sollicitation, à partir d’un état initial (I) vers un état final (II), représenté ici par des surfaces de normales  et N respectivement. Cette déformation est caractérisée par le déplacement u d’un point matériel de la position  à l’instant t = 0 , à la position finale à l’instant t . Les positions de chaque point matériel sont repérées dans un même repère cartésien, de vecteurs de base orthonormée fixe 1 y , 2 y , 3 y . Figure II.1 : Transformation d’un milieu de l’état initial (I) à l’état final (II). D’un point de vue acoustique, lorsque la longueur d’onde des ondes élastiques est grande devant les distances interatomiques, tout solide homogène peut-être assimilable à un milieu continu. De manière à assurer la continuité de la matière dans son mouvement, l’application G  t),(: → X  t),( est supposée bijective et continûment dérivable.

Tenseurs de déformations 

Les variations des carrés des longueurs d’un petit segment matériel, qui passe de l’état initial ( 0 dl , longueur à l’état non-déformé) à l’état final ( dl , longueur à l’état déformé), sont décrites par divers tenseurs de déformations. Le tenseur de déformations de Green-Lagrange, noté S, peut s’exprimer en utilisant la différence quadratique des longueurs : , (II.1) où α , β =1, 2, 3 et αβ δ est le symbole de Kronecker (δ αβ = 0 pour α ≠ β et δ αβ = 1 pour α = β ). 

Déplacement

 Le déplacement u d’un point matériel peut-être exprimé à l’aide des vecteurs X et  par : u = X −  , (II.2) ce qui permet d’exprimer les composantes du tenseur de déformations par : . (II.3) Les neuf composantes de déformations αβ S forment un tenseur de rang 2 et en raison de sa symétrie, seules six d’entre elles sont distinctes [Royer1996]. La conservation de la masse entre l’état (I) et l’état (II), s’exprime à l’aide du Jacobien de la transformation J : f i ρ t)),( ( J ρ −1 X  = , (II.4) où J = detG , (II.5) avec G le tenseur du gradient de transformation :  X G ∂ ∂ ≡ . (II.6) f ρ et i ρ correspondent respectivement, aux masses volumiques du milieu dans l’état final et initial.

Tenseurs des contraintes

Différents tenseurs de contrainte peuvent être introduits pour traduire l’état de contrainte en un point matériel. Considérons un élément de force de contact dF s’appliquant sur un élément de surface matérielle dA portée par le vecteur N , normal à cette surface. Ce milieu continu est soumis à une transformation finie qui le fait passer dans la configuration déformée. Considérons alors un élément de force de contact df s’appliquant sur un élément de surface matérielle da portée par le vecteur n , normal à cette surface. A chaque milieu est associé un élément de déplacements respectif dX et dx respectivement. La figure II.2 décrit ce système. Figure II.2 : Effet d’une transformation de milieu sur les éléments de surface et de force. Le tenseur de contrainte de Cauchy t est la contrainte ‘vraie’ qui relie la force définie dans l’état prédéformé (précontraint) à la surface dans l’état déformé (contraint). C’est un tenseur symétrique. df = nt )( da . (II.7) Cette relation est facile d’aspect mais difficile à mettre en œuvre dans la pratique puisque la surface déformée fait partie de l’inconnue du problème. Considérant les éléments de déplacements et de surface définis précédemment : dX = G dx , (II.8.a) da J dA −T = G . (II.8.b) Pour garder une formulation analogue à la formule précédente, il est d’usage d’introduire la contrainte nominale (dite contrainte de Piola-Kirchoff 1 ou Piola-Boussinesq) : T J − P = Gt , (II.9) qui permet d’écrire : df = P(N ) dA . (II.10) dF N dA df n da C’est la contrainte que mesurée expérimentalement, car la plus accessible (force appliquée par unité de surface initiale). Son défaut majeur est qu’elle n’est pas symétrique. De manière à effectuer des mesures de contrainte symétrique, définies dans la configuration initiale, on introduit la contrainte  , appelée contrainte matérielle ou contrainte de PIOLA-KIRCHOFF 2. Elle est définie par :  G P −1 = , d’où T J − −  = G Gt 1 . (II.11) Suivant la surface choisie, il y a égalité ou non entre le tenseur de Cauchy et le tenseur de PIOLAKIRCHOFF 2 [Rakotomanana2003]. 

Relations entre contraintes et déformations 

Comportement linéaire d’un solide élastique

 La théorie linéaire de l’élasticité est basée sur une loi purement expérimentale exprimée par Hooke en 1678 pour un solide parfaitement élastique . Cette théorie se traduit par l’existence d’une relation biunivoque entre contraintes  et déformations S, développée ici jusqu’à l’ordre 2 en déformation 🙁 σ ij correspondant à la contrainte à l’équilibre. On pose )0( = 0 σ ij et i , j , k , l , m , n =1, 2, 3. Ce développement conduit aux relations suivantes, définissant les constantes élastiques isothermes du second et du troisième ordre : ,(II.13.b) Les constantes élastiques du second ordre Cijkl , forment un tenseur de rang quatre (donc 3 81 4 = composantes) généralement appelé tenseur des rigidités élastiques. Les tenseurs de contraintes σ ij et de déformations kl S étant tous deux symétriques, cela implique des égalités entre constantes du  second ordre par permutations d’indices : Cijkl = Cjikl et Cijkl = Cijlk . Ceci ramène le nombre de constantes indépendantes à 36 au lieu de 81. La notation matricielle contractée de Voigt peut être utilisée pour la désignation des constantes : ij ou kl α ou pour et pour et pour et pour et 4 2 2 αβ . Des considérations thermodynamiques [Royer1996] nous permettent d’écrire : ζ σ         ∂ ∂ = ij ij S U , (II.14) avec U l’énergie interne d’un corps déformé et ζ son entropie. Il vient alors au second ordre , (II.15) ou en utilisant la notation matricielle de Voigt : Cαβ = Cβα . (II.16) Cette relation dite de Maxwell, est vraie dans tous les milieux [Royer1996]. Elle conduit à un tenseur des rigidités élastiques symétriques, dont le nombre de constantes indépendantes se réduit à 21.. (II.17) Chapitre II : Propagation d’une onde acoustique dans un milieu piézoélectrique contraint 47 Ce nombre de constantes indépendantes se réduira davantage en fonction des symétries des différents matériaux. Le développement au troisième ordre donne : ζ ( . (II.18) Les constantes élastiques du troisième ordre Cijklmn , forment un tenseur de rang 6 contenant 729 composantes indépendantes dans le cas le plus général. Comme dans le cas des constantes élastiques du second ordre, ce nombre se réduit en fonction du degré de symétrie du matériau. Par exemple pour un matériau présentant une symétrie orthotrope, le nombre des constantes indépendantes se réduit à 20, alors que pour un matériau isotrope il n’en reste que 3. Notons que le fait de se restreindre à l’ordre 3 dans le développement de la contrainte  , n’est pas un choix arbitraire. A ce jour, il est impossible d’évaluer expérimentalement des constantes élastiques au-delà des constantes du troisième ordre.

Comportement linéaire d’un solide piézoélectrique

Comme décrit au premier chapitre, la piézoélectricité est une dépendance entre les propriétés élastiques et électriques de certains matériaux. Dans le cas unidimensionnel, l’effet piézoélectrique direct exprime la polarisabilité de certains diélectriques lorsqu’ils sont déformés : D =  E + Se , (II.19) avec D l’induction (déplacement) électrique, E le champ électrique et S la déformation.  et e sont respectivement les constantes diélectrique (permittivité) et piézoélectrique. Par souci de simplification, la valeur du déplacement électrique à contrainte nulle, soit la polarisation spontanée sp P , n’est pas indiquée. De plus, les échanges de chaleur au sein de matériaux piézoélectriques sont largement négligeables, ce qui conduit à négliger l’effet des variations d’entropie. C’est pourquoi nous ne l’indiquons plus dans la notation. L’effet piézoélectrique inverse indique qu’un matériau, placé dans un champ électrique, est soumis à des contraintes et se déforme :  = SC − Ee , (II.20) avec  la contrainte mécanique et C la constante de rigidité. La généralisation à trois dimensions de la relation (II.19) définit les tenseurs  et e : Chapitre II : Propagation d’une onde acoustique dans un milieu piézoélectrique contraint 48 p mij ij S m mp D = ε E + e S . (II.21) Les constantes diélectriques à déformation constante S mp ε relient la variation d’induction Dm , au champ électrique Ep auquel est soumis le solide : ζ ε S , p S m mp E D         ∂ ∂ = . (II.22) Elles s’expriment en F / m . Le nombre de constantes diélectriques est ainsi de 9 (tenseur de rang 2), . (II.23) Par des considérations thermodynamiques analogues à celles développées pour le tenseur d’élasticité [Royer1996], il résulte que ce tenseur est symétrique : S pm S mp ε = ε . (II.24) Les constantes piézoélectriques mij e relient la variation d’induction Dm , à champ électrique constant, aux déformations Sij subies par le solide : E ,ζ ij m mij S D e         ∂ ∂ = . (II.25) Elles s’expriment en 2 C / m . On ne spécifie pas qu’elle est à champ électrique constant dans la notation, mais dans d’autres cas, l’exposant apparaîtra. Dans la mesure ou ij ji S = S , le tenseur mij e est symétrique par rapport à ses deux indices i et j : mij mji e = e , (II.26) ce qui permet d’utiliser la notation de Voigt : mij mα e = e avec m , i , j = 1, 2 , 3 et α = 6 …, ,2 ,1 . Le coefficient piézoélectrique inverse, reliant la contrainte mécanique σ ij et le champ électrique Ei dans l’équation généralisée, se déduit de la constante ijk e par des considérations thermodynamiques : mij m S ij e E −=         ∂ ∂σ . (II.28) Les coefficients de proportionnalité des deux effets sont opposés. L’effet piézoélectrique inverse est donc une conséquence thermodynamique de l’effet direct. Dans le domaine linéaire, les coefficients mij e sont constants, par hypothèse, et l’intégration de l’équation précédente à entropie et déformations constantes conduit à : ij mij Em σ = − e . (II.29) Si de plus le solide subit une déformation kl S : kl E ij mij m ijkl σ −= e E +C S , (II.30) avec la constante élastique à champ électrique constant E Cijkl définie par la loi de Hooke généralisée  qui relie les contraintes et les déformations lorsque le champ électrique E est maintenu constant. Les équations (II.21) et (II.30) constituent un système d’équations d’état (constitutives) d’un matériau piézoélectrique. En notation matricielle, ce système s’écrit : m m E σ α = Cαβ Sβ − e αE , (II.32.b) Ce système fournit la contrainte mécanique et l’induction électrique en fonction des variables indépendantes, champ électrique et déformation. En plus de ce système d’équation, il en existe trois autres qui peuvent être décrit selon les variables indépendantes choisies. En prenant S et D, le système s’écrit : kl E ij mij m ijkl S −= d E + s σ , (II.33.a) Chapitre II : Propagation d’une onde acoustique dans un milieu piézoélectrique contraint 50 p mij ij T m mp D = ε E + d σ , (II.33.b) avec E ijkl s la souplesse à champ électrique constant (inverse du tenseur des rigidités), T mp ε la permittivité à contrainte constante et mij d le coefficient piézoélectrique.