Rappels d’algèbre et de combinatoire

Rappels sur certaines structures algébriques

Représentations linéaires des groupes La notion de représentation linéaire d’un groupe est fondamentale en combinatoire algébrique. Définition 2.1.1. Soit G un groupe quelconque, et GL(V ) l’ensemble des applications linéaires inversibles d’un espace vectoriel V donné dans lui-mˆeme. On appellera alors représentation linéaire de G dans V tout homomorphisme de G dans GL(V ). La dimension de V est appelée le degré de la représentation. On identifiera deux représentations R et R′ si elles sont isomorphes, au sens o`u il existe T ∈ GL(V ) tel que ∀s ∈ G, T R(s)T −1 = R ′ (s). (2–7) Soit ρ : G → GL(V ) une représentation, et W un sous-espace vectoriel de V stable par ρ, au sens ∀x ∈ W ∀s ∈ G, ρ(s)(x) ∈ W. (2–8) L’application ρ W : G → GL(W) s 7→ ρ(s)|W est alors encore une représentation linéaire. On dira que c’est une sous-représentation de ρ. Une représentation est dite irréductible si elle n’admet que la représentation dans {0} et elle-mˆeme comme sous-représentations. 19 Rappels d’algèbre et de combinatoire

Algèbres de Lie et algèbres pré-Lie

Soient ρ W1 : G → GL(W1) et ρ W2 : G → GL(W2) deux sous-représentations de ρ : G → GL(V ). On dira alors que ρ = ρ W1 ⊕ ρ W2 (2–9) si V = W1 ⊕ W2. Un résultat fondamental de Frobenius est que dans le cas o`u G est un groupe fini, toute représentation ρ de G dans un C-espace vectoriel V est décomposable en somme directe de représentations irréductibles. De mˆeme, Weyl montre que dans le cas o`u G est un groupe compact, cette propriété est vraie lorsque V est de dimension finie. On rappelle `a présent la définition suivante. Définition 2.1.2. Soit ρ une représentation linéaire d’un groupe fini G dans un espace vectoriel V de dimension finie n. Pour tout s ∈ G, on note Rs la matrice correspondant `a ρ(s). On définit alors le caractère χρ de ρ comme étant la forme linéaire χρ : G → C s 7→ χρ(s) = Tr(Rs) = Pn i=1(Rs)ii (2–10) On montre facilement que χρ(1G) = dim(V ) = n, que deux représentations isomorphes ont le mˆeme caractère, et que si ρ = ρ1 ⊕ ρ2, alors χρ = χρ1 + χρ2 . Enfin, les caractères sont des fonctions centrales, c’est-`a-dire que l’on a toujours χρ(tst−1 ) = χρ(s). (2–11) .

Algèbres de Lie et algèbres pré-Lie

Définition 2.1.3. Une algèbre de Lie g est un espace vectoriel sur un corps K muni d’une loi de composition interne [, ] appelée crochet de Lie, telle que    ∀α ∈ K, ∀β ∈ K, ∀X, Y, Z ∈ g, [X, αY + βZ] = α[X, Y ] + β[X, Z] ∀X ∈ g, ∀Y ∈ g, [X, Y ] = −[Y, X] ∀X, Y, Z ∈ g, [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (2–12) La dernière des trois identités dans (2–12) est appelée identité de Jacobi. De la mˆeme manière que pour les groupes, on peut parler de représentations d’une algèbre de Lie. On dit ainsi que ρ : g → GL(V ) est une représentation de g dans V si ∀X ∈ g, ∀Y ∈ g, ρ([X, Y ]) = ρ(X)ρ(Y ) − ρ(Y )ρ(X). (2–13) Les représentations des algèbres de Lie vérifient également certains théorèmes de décomposition. Ainsi, Cartan a montré que toute représentation d’une algèbre de Lie semi-simple est décomposable en somme directe d’irréductibles (on dit qu’une algèbre de Lie est semi-simple si elle ne contient pas d’idéal résoluble non trivial). Notons que le crochet de Lie n’est pas associatif. A partir d’une algèbre associative quelconque, on peut toujours construire une algèbre de Lie en considérant le crochet de Lie défini par [X, Y ] = XY − Y X. (2–14)

Rappels d’algèbre et de combinatoire

Ce crochet est appelé le commutateur, et une algèbre de Lie construite ainsi `a partir d’une algèbre de matrices est dite linéaire. En fait, le produit dans (2–14) ne doit pas forcément ˆetre associatif pour que le crochet correspondant soit un crochet de Lie : il suffit que ce produit soit un produit pré-Lie. Les algèbres pré-Lie sont définies de la manière suivante. Définition 2.1.4. Une algèbre pré-Lie L est un espace vectoriel muni d’un produit linéaire ◦ qui vérifie pour X, Y, Z ∈ L X ◦ (Y ◦ Z) − (X ◦ Y ) ◦ Z = X ◦ (Z ◦ Y ) − (X ◦ Z) ◦ Y. (2–15) Les algèbres associatives sont des cas particuliers d’algèbres pré-Lie. On peut munir toute algèbre pré-Lie (L, ◦) d’une structure d’algèbre de Lie en considérant le crochet défini par [X, Y ] = X ◦ Y − Y ◦ X. (2–16) 2.1.3 Algèbres de Hopf Avant de définir ce qu’est une algèbre de Hopf, nous aurons besoin de quelques notions préliminaires. Définition 2.1.5. Soit K un corps. Une K-cogèbre est un K-espace vectoriel C muni de deux applications K-linéaires ∆ : C → C ⊗ C (2–17) et ǫ : C → K (2–18) telles que (IdC ⊗ ∆) ◦ ∆ = (∆ ⊗ IdC) ◦ ∆ (2–19) et (IdC ⊗ ǫ) ◦ ∆ = IdC = (ǫ ⊗ IdC) ◦ ∆. (2–20) L’application ∆ est appelée coproduit. C’est la notion duale de celle de produit dans une algèbre. Le coproduit d’un élément de C est une combinaison linéaire de produits tensoriels de deux éléments de C. De mˆeme, la propriété (5-3), appelée coassociativité, est duale de la propriété d’associativité dans une algèbre, et l’application ǫ est appelée co-unité. Si l’on voit l’unité d’une K-algèbre A comme une application de K dans A, alors la notion de co-unité d’une cogèbre est duale de celle d’unité dans une algèbre. Définition 2.1.6. Soit K un corps, B un K-espace vectoriel muni d’une structure d’algèbre associative unitaire (B, µ, η) et d’une structure de cogèbre (B, ∆, ǫ). On dira alors que B est une bigèbre si la structure d’algèbre et la structure de cogèbre sont compatibles, au sens o`u (1) ∆ et ǫ sont des morphismes d’algèbre (2–21) (2) µ et η sont des morphismes de cogèbre (2–22) 2.1.3. Algèbres de Hopf 22 (l’application µ : B ⊗ B → B est la multiplication, et l’application η : K → B est l’unité). Nous sommes maintenant en mesure de définir ce qu’est une algèbre de Hopf. Définition 2.1.7. Soit (H, ; µ, η, ∆, ǫ) une bigèbre. On définit alors la convolution ⋆ par f ⋆ g = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ (2–23) o`u f : H → H et g : H → H sont deux applications linéaires. Si l’identité est inversible par la convolution, on dit que H est une algèbre de Hopf et on appelle antipode l’inverse S de l’identité par la convolution. L’antipode S est un antimorphisme d’algèbres S(xy) = S(y)S(x). (2–24) De plus, il vérifie par définition IdH ⋆ S = S ⋆ IdH = η ◦ ǫ, (2–25) c’est-`a-dire µ ◦ (IdH ⊗ S) ◦ ∆ = µ(S ⊗ IdH) ◦ ∆ = η ◦ ǫ. (2–26) Nous pouvons `a présent donner quelques exemples d’algèbres de Hopf. Exemple 2.1.1. Pour tout groupe fini G et tout corps K, on note K[G] l’algèbre linéairement engendrée par les éléments de G et dont le produit restreint `a G co¨ıncide avec le produit du groupe. Il est alors possible de munir K[G] d’une structure d’algèbre de Hopf en définissant le coproduit par ∆(g) = g ⊗ g (2–27) pour tout g ∈ G. On peut construire l’antipode de cette algèbre de Hopf en étendant linéairement l’application qui envoie chaque élément du groupe sur son inverse. Les algèbres de Hopf sont une généralisation naturelle de cet exemple particulier, et le fait de donner `a une algèbre une structure d’algèbre de Hopf permet d’une certaine manière de la faire ressembler `a un groupe. Exemple 2.1.2. On considère l’ensemble KG des applications d’un groupe fini G donné dans un corps K donné. Cet ensemble est naturellement muni d’une structure d’algèbre associative unitaire, et on peut identifier KG ⊗ KG `a KG×G identifiant g ⊗ h `a la fonction f qui vérifie f(x, y) = g(x)h(y) (2–28) pour tout x et pour tout y. On peut alors définir un coproduit en posant ∆(f)(x, y) = f(xy), (2–29) et on peut vérifier que ce coproduit définit bien une bigèbre H. De plus, l’antipode S correspondant existe, et il est défini par S(f)(x) = f(x −1 ).