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Degr topologique
Nous abordons dans cette deuxieme partie une methode de compacite pour obtenir des resulats d’existence de solution pour des problemes elliptiques non lineaires.
Degr de Brouwer et proprietes
Soit un ouvert borne de RN ; N 1. Soit f 2 C( ; RN ) et y 2 RN . On cherche a montrer qu’il existe x 2 tel que f(x) = y. On commence par donner l’existence et l’unicite d’une application, appelee degre topologique, en dimension nie puis on l’etend a la dimension in nie. Cette application nous permet parfois d’obtenir des resultats d’existence de solutions.
De nition 1.3 Soient un ouvert borne et f : ! RN ; f 2 C1( ) \ C( ), x0 2 est dit point regulier si Jf (x0) 6= 0 (ou Jf (x0) = det Df(x0) avec Df(x0) = @fi
(x0)), Dans le cas contraire, x0 est appel point critique ou point singulier .
@xj
i;j
Designons par Sf ( ) = fx0 2 : Jf (x0) = 0g
l’ensemble des points singuliers de f sur De nition 1.4 (Cas regulier) Soient Rn un ouvert borne et f 2 C1( ) \
a valeurs dans Rn, pour y 2= f(@ ) une valeur C( ) une fonction de nie de reguliere, on de nit le degr de f au point y par f(xi X
deg(f; ; y) = sgn(det Dxf(xi)):
)=y;i=1:n
De nition 1.5 Soit N 1. On note A l’ensemble des triplets (f; ; y) ou est
un ouvert borne de RN , f 2 C( ; RN ) et y 2 RN t.q y 2= ff(x); x 2 @ g
Theoreme 1.7 [25] ( Brouwer) Soit N 1 et A donne par la de nition 1.5. Il existe alors une application d de A dans Z appelee (degr topologique), veri ant les trois proprites suivantes :
Normalisation : d (Id; ; y) = 1; si y 2 : S T
Degr d’une union : d (f; ; y) = d (f; 1; y) + d (f; 2; y) ; si 1 2 ; 1 2 = ;
et y 2= ff(x); x 2 r 1 S 2g: N ); y 2 C([0; 1]; R N ) et y(t) 2= fh(t; x); x 2 @ g
Invariance par homotopie : Si h 2 C([0; 1]; R
( pour tout t 2 [0; 1]) on a alors d (h (t; 🙂 ; ; y) = d (h (0; 🙂 ; ; y(0)) pour tout t 2 [0; 1]:
Theoreme du point xe de Brouwer 1912 :
Une premiere consequence de cette methode de derg topologique est le theoreme de point xe de Brouwer que nous donnons maintenant.
Theoreme 1.8 [25] ( point xe de Brouwer)
Soit N 1; R > 0 et f 2 C(BR; BR) avec BR = fx 2 RN ; kxk Rg (on a muni RN d’une norme note k:k.) Alors f admet un point xe, c’est a dire il existe x 2 BR t.q. f(x) = x:
Degr de Leray-Schauder et proprietes
le theoreme precedent a ete generalis (des 1934) en dimension in nie par Leray et Schauder sous une hypothese de compacite. Donnons d’abord une de nitionDe nition 1.6 Soit E un espace de Banach, B une partie de E et f une applica-tion de B dans E: On dit que f est compacte ( la terminologie de Leray-Schauder est di erente, ils utilisent l’expression « completement continue »), si f veri e les deux proprietes suivantes :
1. f est continue
2. ff(x); x 2 Cg est relativement compacte dans E pour tout partie C bornee de B.
Remarque 1.3 1- la de nition precedente est equivalente de dire que, pour toute suite (xn)n2N bornee dans B on peut extraire de (f(xn))n2N une suite qui converge
dans E:
2- On peut remarquer, dans la de nition precedente, que si f est lineaire (et B = E)
la deuxieme condition entra^ne la premiere. Mais ceci est faux pour des applications non lineaires.
Voici le resultat principal de cette partie, qui enonce l’existence du degr de Leray- Schauder en m^eme temps que ses proprietes principales, tout a fait similaires a celles du degr de Brouwer. De nition 1.7 Soit E un espace de Banach. On note A l’ensemble des triplets (I f; ; y) ou est un ouvert borne dans E, f est une application compacte dans E et y 2 E t.q y 2= fx f(x); x 2 @ g Theoreme 1.9 [25] ( Leray-Schauder) Soit E un espace de Banach et A donne par la de nition 1.7. Il existe une application d de A dans Z appelee (degr topologique), veri ant les trois propritees suivantes :
Normalisation : d (Id; ; y) = 1; si y 2 : S T
Degr d’une union : d (I f; ; y) = d (I f; 1; y) + d (I f; 2; y) ; si 1 2; 1 2 = ;
et y 2= fx f(x); x 2 r 1 S 2g:
Invariance par homotopie : Si h est une application completement continue de [0; 1]dans E;
y 2 C([0; 1]; E) et y(t) 2= fx h(t; x); x 2 @ g( pour tout t 2 [0; 1]); on a alors d (I h (t; 🙂 ; ; y) = d (I h (0; 🙂 ; ; y(0)) pour tout t 2 [0; 1]: De nition 1.8 Une application de la forme f = I h
Table des matières
1 Preliminaires
1.1 Rappels et complement d’analyse
1.1.1 Espaces Lp
1.1.2 Espaces de Sobolev
1.2 Degre topologique
1.2.1 Degre de Brouwer et proprietes
1.2.2 Degre de Leray-Schauder et proprietes
2 Etude d’un probleme de Convection-diusion non lineaire avec condition de Neumann
2.1 Introduction et Resultats Principaux
2.2 Unicite et positivite de la solution
2.3 Estimation a priori
2.4 Existence
3 Resultats d’existence de solutions d’un systeme elliptique
semi-lineaire en etat de resonnance
3.1 Introduction et resultats principaux
3.2 Premier cas
3.2.1 Estimation a priori des solutions
3.3 Deuxieme cas
3.3.1 Estimation a priori des solutions
3.4 Demonstration du resultat principal
Conclusion et Perspectives
Liste des symboles
Bibliographie
