Séparation et détection d’un mélange de signaux modulés CPM

Introduction aux modulations CPM

Généralités

Les modulations à phase continue, couramment appelées modulations CPM (continuous phase modulation) présentent des propriétés qui les rendent particulièrement attractives, parmi lesquelles la propriété importante de module constant de leur enveloppe. De plus, elles présentent une très bonne efficacité spectrale et réalisent un bon compromis entre efficacité de puissance et complexité des modulateurs/démodulateurs. Pour ces raisons, les modulations CPM sont utilisées dans le système européen de téléphones mobiles de seconde génération (GSM), ainsi que dans de nombreux systèmes de communications militaires, . . . La démodulation de signaux CPM ayant subi une transmission selon un canal à trajets multiples trouve un intérˆet pratique dans l’application à l’écoute passive. Dans le cas d’un émetteur unique, la plupart des méthodes consistent à estimer conjointement les paramètres du canal et la séquence de symboles [70, 21, 51]. En réalité, d’après [10], il est possible d’estimer la séquence de symboles à l’aide d’un égaliseur —par exemple l’algorithme de module constant (CMA) de Godard [38]— suivi d’un algorithme de détection classique. Nous allons illustrer que cette méthode est généralisable dans la configuration d’émetteurs multiples. Nous rappelons d’abord les propriétés essentielles des CPM dont nous aurons l’utilité. Elles sont exposées plus en détail dans [9] ; d’autres informations peuvent ˆetre trouvées dans [81].

Modèle de signal

 Soit (an)n∈Z une suite i.i.d. de symboles de communication. Nous supposons que, pour tout n, an prend de manière équiprobable sa valeur dans l’alphabet binaire {+1, −1}. L’enveloppe complexe (à temps continu) du signal CPM associé est : s(t) := e ıψ(t) , (4.1) o`u la phase ψ(t) de s(t) vaut : ψ(t) := πh³X k∈Z akφ(t − kTs) ´ . (4.2) Dans l’expression ci-dessus, h ∈]0, 1[ est un paramètre fixe appelé indice de modulation et Ts désigne la période symbole. Enfin, φ est une fonction continue, croissante telle que, si l’on fixe L ∈ N ∗ un entier naturel non nul : ∀t ≤ 0, φ(t) = 0 ∀t ∈ [0, LTs] φ(t) ∈ [0, 1] ∀t ≥ LTs φ(t) = 1 (4.3) Dans la pratique, la fonction φ est une primitive de ce qui est appelé la fonction de mise en forme g(t) : cette dernière est continue, positive, de support [0, LTs] (L est donc la longueur du filtre de mise en forme) et normalisée de sorte que R LTs 0 g(t) dt = 1. Nous avons par conséquent la relation : φ(t) := R t 0 g(u) du. Selon la longueur du filtre de mise en forme, on distingue : – si L = 1, la modulation est dite modulation CPM à réponse complète. Dans ce cas, le support de la fonction de mise en forme correspond à [0, Ts]. – si L > 1, la modulation est dite modulation CPM à réponse partielle. Dans la suite de l’exposé, seules les modulations CPM à réponse complète seront envisagées. 

Séparation de CPM dans le cas o`u la période symbole est égale à la période d’échantillonnage

Formulation du problème et lien avec les chapitres précédents

Nous considérons le cas d’une transmission de N signaux de communication distincts modulés en CPM. Nous notons sj (t), j ∈ {1, . . . , N} chacun de ces N signaux de communications ; hj , j ∈ {1, . . . , N} désigneront les indices de modulation respectivement associés et (a j n)n∈Z, j ∈ {1, . . . , N} seront les symboles correspondants aux différents utilisateurs. Ces signaux sont transmis au travers d’un canal de propagation linéaire et invariant dans le temps, qui, par exemple, peut résulter d’un modèle de propagation multi-trajets. Au niveau des capteurs, et après échantillonnage au rythme de la période symbole Ts, les observations x(n) suivent alors un modèle de mélange convolutif du type : x(n) = X k∈Z M(n − k)s(n) + b(n) Il s’agit là du modèle exposé au chapitre 1.4.1, o`u les sources sont des suites de pseudosymboles vérifiant les propriétés de l’équation (4.8). Le problème est de reconstituer chacune des communications, ce qui revient à l’étude de la séparation du mélange de pseudosymboles, puis à l’application d’une démodulation. Un schéma de principe est donné à la figure 4.1..

Commentaires

Nous dénommerons respectivement filtre de type I et type II les familles de filtres précédemment définies dans (4.19). Ainsi, on peut dire que le filtre (gP (k))k∈Z correspond à un filtre de type I ou II à un retard et un déphasage près. Dans le cas o`u (gP (k))k∈Z correspond à un filtre de type I (à un retard et un déphasage près), le signal de sortie (yP (n))n∈Z est tel que pour tout entier n, yP (n) = e ı ϕP µ sin θP sin(πhP ) si(n − kP ) + sin(πhP − θP ) sin(πhP ) sP (n − kP − 1)¶ (4.22) o`u kP , φP et θP sont les paramètres définis dans la proposition 18. Supposons maintenant que θP soit tel que 0 ≤ θP ≤ πhP . Dans ce cas, θP peut s’écrire θP = πhP φP (τP ), o`u τP est un élément de l’intervalle de temps [0, Ts] et o`u φP est la primitive de la fonction de mise en forme telle que définie à l’aide de (4.3). En utilisant la décomposition de Laurent (4.10) (ou bien l’équation (4.9)), on constate que l’équation (4.22) entraˆıne que pour tout entier n, yP (n) = e ıϕP sP (nTs − kP Ts − τP ), o`u sP (t) représente la source CPM à temps continu. En d’autres termes, le filtre P k gP (k)z −k peut s’interpréter comme un filtre interpolateur (à un déphasage ϕP près). Ainsi, une étape de synchronisation suivie d’un algorithme de détection de CPM classique sont les seuls éléments nécessaires pour reconstituer les symboles émis (a P k )k∈Z. Comme le paramètre θP ne vérifie pas nécessairement 0 ≤ θP ≤ πhP et comme (gP (k))k∈Z peut également ˆetre un filtre de type II, l’estimation des symboles peut demander une procédure plus compliquée. Cependant, il est intéressant de noter que dans tous les cas, l’utilisation d’un égaliseur SISO permettant de récupérer (sP (n))n∈Z n’est pas indispensable. La proposition 18 donne une paramétrisation du filtre (gP (k))k∈Z et permet donc de remplacer une étape d’égalisation potentiellement coûteuse par une estimation plus simple des paramètres inconnus. Par exemple, un estimateur du maximum de vraisemblance peut ˆetre considéré en chaque point θP d’une grille discrète afin d’estimer simultanément θP et la suite de symboles. D’autres méthodes plus évoluées ont également été proposées parmi lesquelles on peut citer le Per-Survivor Processing .