Simulation de corps déformables

L’objectif de cette thèse est d’utiliser un langage à base de règles de transforma- tions de graphes pour simuler les déformations et les transformations topologiques de corps solides déformables. Dans cette perspective, le but de ce chapitre est de fournir une vue globale à la fois sur les modèles pour la simulation des solides déformables et sur les approches simulant les modifications topologiques lors de l’animation d’un objet. Dans ce chapitre, nous étudions tout d’abord les deux ap- proches possibles pour décrire le comportement des solides déformables, à savoir la mécanique discrète ou la mécanique continue. Nous nous focalisons ensuite sur des modèles permettant de mettre en équation l’une ou l’autre des approches afin que le comportement soit calculable par ordinateur. Nous exposons les étapes de la simulation physique et détaillons quelques méthodes d’intégration numérique per- mettant de résoudre les équations. Finalement, nous présentons un bref état de l’art sur les transformations topologiques des objets déformables en 2D et 3D. Les recherches sur l’animation de corps physiques ont démarré dans les années 1980 [TPBF87, Luc85, Mil88] afin d’améliorer le réalisme des animations créées par ordinateur. Ces travaux sont basés sur des méthodes issues de l’ingénierie méca- nique qui ont été adaptées au contexte de l’informatique graphique. Ces travaux se sont poursuivis selon deux voies : d’une part, la complexification des modèles afin d’obtenir des animations de plus en plus réalistes et, d’autre part, la gestion de la lourdeur de calcul afin d’exploiter les simulations en temps réel ou en temps interactif. L’ensemble de ces modèles se divise en deux groupes, selon la mécanique, discrète ou continue, sur laquelle ils se basent. Notons que, dans les deux cas, une discrétisation de l’objet est nécessaire, afin de rendre fini le nombre de degrés de liberté de l’objet étudié. Ainsi, nous commençons cette section par l’introduction des concepts de base de la mécanique, discrète puis continue. Ces concepts sont nécessaires pour comprendre le reste de ce manuscrit. Ensuite, nous présentons une série de modèles, discrets ou continus, qui exploitent ces diverses lois physiques, en étudiant leurs avantages et inconvénients.

Notion de base de la mécanique

D’une manière globale, mais ce n’est pas une règle, l’approche eulérienne est plutôt utilisée pour les fluides. Concernant les solides déformables, l’approche la- grangienne est largement préférée. Pour cela dans la suite de ce manuscrit, nous ne nous intéressons qu’à la représentation des objets avec l’approche lagrangienne..

Une particule interagit avec toutes ou un sous-ensemble des autres particules par l’intermédiaire de liaisons qui ap- pliquent des forces d’attraction ou répulsion sur ces particules. Ces liaisons peuvent être des ressorts qui obéissent, par exemple, à la loi de Hooke pour reproduire des comportements élastiques. Dans ce cas, la force est proportionnelle à l’écart de distance entre les particules par rapport à la distance au repos :91]). Quelques exemples sont présentés sur la figure 2.1 : ressorts linéaires ou non pour repré- senter un comportement élastique, amortisseurs pour la dissipation de l’énergie et pour permettre d’introduire un comportement visqueux dans l’objet, patins qui permettent d’introduire un comportement plastique et de la non-linéarité, etc. Cer- taines interactions peuvent comprendre plus que deux particules, par exemple, les ressorts angulaires permettant de s’opposer à la courbure/flexion. Il est possible de former des interactions plus complexes, construites par une combinaison en série ou en parallèle de différentes interactions élémentaires. Quelques exemples de ces combinaisons sont présentés sur la figure 2.2.Nous introduisons dans cette partie les concepts de base de la mécanique des mi- lieux continus. Au contraire de la mécanique discrète qui considère la matière comme un ensemble de points, la mécanique continue considère la matière à l’échelle macro- scopique en tant que couverture continue de l’espace. Un objet est alors considéré comme un domaine borné par une surface qui délimite l’intérieur de l’extérieur de l’objet. Ce dernier se déforme et se déplace en respectant des contraintes externes comme par exemple la force de gravité. Le processus de la mécanique continue com- mence tout d’abord par déterminer le déplacement de chaque point de l’objet par rapport à sa position au repos. Ensuite, en utilisant ces déplacements, le tenseur de déformation peut être calculé, là aussi en chaque point de l’objet. Le tenseur de contrainte, correspondant aux forces dues à la déformation, est alors déterminé en appliquant une loi de constitution à partir du tenseur de déformation. Ensuite, en déterminant la densité d’énergie de déformation en chaque point, il est possible d’en déduire une densité de force. Nous détaillons, dans la suite, les diverses étapes de ce calcul.