Simulation électromagnétique utilisant une méthode modale de décomposition en ondelettes

Méthode Modale 

Avec une approche modale, on peut résoudre le problème de la diffraction par une structure multicouche périodique en calculant les modes et leurs échanges d’énergie aux interfaces. Étant donné que le cas général d’un réseau périodique selon deux dimensions apporte beaucoup de difficultés d’ordre calculatoire (temps de calcul, capacité mémoire), il est naturel de ne considérer dans un premier temps que le problème de la diffraction par le réseau périodique selon une seule dimension, communément appelé réseau 1D. Il est nécessaire de caractériser la structure 1D, d’analyser les avantages et les inconvénients engendrés par la méthode utilisée, d’optimiser le temps de calcul et de réduire les besoins en mémoire avant de faire l’extension à 2D.
Le schéma général de calcul du champ électromagnétique se divise en plusieurs étapes: le calcul des modes propres de la structure dans chaque tranche ; le calcul des couplages entre les modes des diverses tranches ; la résolution finale compte tenu des conditions d’excitation ; le calcul des efficacités de diffraction et du champ électromagnétique. Le calcul est rigoureux dans le sens où, lorsque le nombre de termes utilisés dans le développement du champ augmente, le calcul tend vers la solution exacte.

Influence des fonctions test

Nous essayons de voir l’impact des fonctions test sur la convergence des résultats. Nous choisissons pour ce faire comme fonction de base des splines quadratiques ; les résultats obtenus pouvant être généralisés aux cas des splines de degré quelconque. Dans ce cas-ci trois types de fonctions test ont été utilisés :
une distribution de Dirac, dans ce cas nous parlerons de méthode de collocation par point ou point-matching method ou dans notre terminologie spline-Dirac (SD).
des fonctions portes, nous conduisant à la méthode de collocation par sous domaines, dans la terminologie locale nous désignerons par spline-porte (SP) ce type de méthode des moments. des fonctions B-splines quadratiques : méthode de Galerkin ou spline-spline (SS).
Pour les illustrations nous prenons un cas type de structure utilisée en lithographie en UV profond à 193 nm. Il s’agit d’un réseau diélectrique sur un substrat de silicium. La configuration simulée est représentative d’une étape de métrologie dite scatterométie, réalisée à l’aide d’un ellipsomètre. Ce type d’instrument optique permet de mesurer le changement de polarisation induit par la réflexion sur un objet (ici le réseau). La résolution du problème inverse de diffraction permet de remonter aux caractéristiques géométriques de l’objet diffractant. C’est une technique de nano métrologie dimensionnelle de plus en plus utilisée dans l’industrie micro-électronique. La résolution du problème inverse se ramène ici à une optimisation paramétrique qui nécessite la solution rigoureuse des équations de Maxwell pour calculer le changement de polarisation.

Méthode de Rayleigh

Lord Rayleigh a établi la théorie électromagnétique permettant de calculer les efficacités de diffraction d’un réseau au début du siècle dernier. Cette théorie a permis d’expliquer les anomalies décrites par Wood en 1902, caractérisées par une variation notable des coefficients de réflexion et transmission lors d’une faible modification des paramètres caractéristiques de l’onde incidente. Le développement de Rayleigh fait apparaître une somme infinie d’ondes planes. Le champ électromagnétique est exprimé par une série d’ondes planes montantes et descendantes ; ces ondes pouvant être soit propagatives, soit évanescentes. Cette relation est valable dans les couches homogènes. La méthode de Rayleigh fait l’hypothèse que le développement du champ en ondes planes reste encore valable dans la région du réseau. Les conditions aux limites au niveau du réseau peuvent être exprimées par une relation simple liant les amplitudes des ordres diffractés, transmis et réfléchis. Le problème est ainsi ramené à la résolution d’un système d’équation linéaire. Une des limitations des cette approche est que l’hypothèse n’est acceptable que pour des réseaux de faible profondeur .
Des améliorations ont été proposées pour des cas particuliers, comme la méthode de Rayleigh-Fourier pour les réseaux sinusoïdaux où il devient possible de traiter des structures cinq fois plus profondes que la limite précédente. La formulation variationnelle de l’hypothèse de Rayleigh permet aussi une adaptation aux cas des réseaux triangulaires.

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Influence de la grille de discrétisation

Dans le cas des bases nodales, les discontinuités de la fonction de permittivité sont « vues » par un certain nombre des fonctions de base. Ce nombre est déterminé par le degré de la fonction de base utilisée. Par exemple, dans le cas des splines de degré 1, chaque fonction chevauche sa voisine de droite et de gauche. Le nombre maximal des fonctions qui se chevauchent dans un point fixé sur l’axe 0x est égal à deux et le nombre minimal est 1. Suivant l’endroit où le saut de la permittivité se situe par rapport à ces chevauchements des fonctions de base, la vitesse de convergence peut varier. Plus précisément, on obtient des résultats d’une précision plus élevée lorsque le saut de la fonction de permittivité est « vu » par le maximum des fonctions de base. Des variations similaires ont aussi été remarquées en utilisant la méthode MMFE, mais la différence entre les vitesses de convergence sont moins importantes.
Afin d’illustrer ce phénomène, on a choisi d’utiliser des fonctions spline quadratiques comme fonctions de base et de test. On définit trois grilles de discrétisation : la première, qu’on appellera DS1. Elle correspnd au cas où les discontinuités de la permittivité chevauchent un nombre minimum de fonctions de base ; dans le cas des splines quadratiques il y en a seulement deux. La deuxième grille de discrétisation, qu’on nommera DS2. Elle correspond au cas où une discontinuité de la permittivité est moyennée sur deux fonctions de base et l’autre discontinuité sur trois ; et enfin avec la troisième grille de discrétisation (notée DS3) les deux sauts de la permittivité sont à l’intersection de trois splines.

Table des matières

Introduction générale 
1 Présentation de la méthode numérique 
1.1 Introduction 
1.2 Méthodes de résolution numérique des équations de Maxwell
1.2.1 Méthode intégrale
1.2.2 Méthode de Rayleigh
1.2.3 Méthode différentielle
1.2.4 Méthodes modales
1.3 Méthode Modale : principe général
1.4 Les équations de Maxwell 
1.4.1 Les équations de propagation
1.4.2 Milieux homogènes
1.4.3 Milieux inhomogènes
1.5 Conditions aux limites et calcul des efficacités 
1.6 Bilan 
2 Méthode Modale avec des fonctions Splines 
2.1 Introduction 
2.2 Description de la méthode 
2.2.1 Méthode des résidus pondérés
2.2.2 Application aux équations de Maxwell
2.2.3 Description des fonctions Bn et Tq
2.2.4 Périodicité et pseudo périodicité
2.3 Résultats numériques 
2.3.1 Influence des fonctions test
2.3.2 Influence des fonctions de base
2.3.3 Influence de la grille de discrétisation
2.3.4 Comparaison avec d’autres méthodes
2.3.4.1 Réseau diélectrique
2.3.4.2 Réseaux métalliques
2.3.4.3 Réseaux avec des matériaux à indice négatif
2.3.4.4 Réseaux résine sur silicium
2.3.5 Résolution spatiale adaptative
2.4 Bilan 
3 Méthode Modale avec décomposition en ondelettes 
3.1 Introduction 
3.2 Eléments de théorie sur les ondelettes 
3.2.1 Transformée en ondelettes continue
3.2.2 Transformée en ondelettes discrète
3.2.3 Analyse multirésolution
3.2.4 Quelques propriétés intéressantes des ondelettes
3.2.5 Ondelettes orthogonales
3.2.6 Ondelettes biorthogonales
3.2.7 Transformée en ondelettes rapide
3.3 Applications aux équations de Maxwell 
3.3.1 La forme des matrices au premier niveau de résolution
3.3.2 La forme des matrices au deuxième niveau de résolution
3.3.3 Décimation des détails : le zoom
3.4 Résultats 
3.4.1 L’influence de la longueur des filtres
3.4.2 Ajouter un niveau de détail
3.4.3 Comparaison avec la littérature
3.5 Bilan
Conclusion et perspectives 
Bibliographie 
Annexes 
A Formalisme des matrices S
B Calcul des efficacités
C Publications et conferences

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