Sur la théorie de la moyennisation dans le cas périodique

Introduction

Quand un système díéquations di§érentielles x_ = f (x); x = (x1; x2; x3; :::; xn); (2:1) est linéaire, cíest à dire quand f (x) est linéaire par rapport aux variables x1; x2; x3; :::; xn : f(x) = Ax, on peut écrire les solutions du système (2:1) gr‚ce à líexponentielle de la matrice A : x(t) = e Atx(0) o˘ e At = X n0 (At) n n! : Pour pouvoir travailler de manière analytique, il faut utiliser des méthodes perturbatives. la méthode de la moyennisation est líune des plus importantes méthodes perturbatives utilisées actuellement dans líétude des cycles limites des systèmes dynamiques. Elle a été introduite par Krylov et Bogoliubov en 1937 [7] et Bogoliubov et Mitropolskii (1961) [6]. Elle a été ensuite développée par Verhulst [54], Sanders and Verhulst [55], Malkin (1956) [48], Roseau (1966) [52], Llibre et Buica (2004) [4] : Dans le cas périodique líidée de base est de considérer une équation di§érentielle perturbée mise sous la forme 10 Sur la théorie de la moyennisation dans le cas périodique 2.2. UN PREMIER TH…OR»ME DE MOYENNISATION standard suivante x_ = « f (x; t; « ); (2:2) o˘ t 2 I  R; x 2 R n ;  » un paramètre petit et f est T-périodique en t, líéquation moyennée associée à (2:2) síécrit x_ = « f 0 (x); (2:3) o˘ f 0 (x) = 1 T Z T 0 f (x; t; 0) dt: (2:4) La recherche des racines positives du (2:4) réduit le problème de la détermination des solutions T-périodique de (2:2) qui est en général un problème di¢ cile. Dans cette section, on présente une introduction à la théorie de la moyennisation du premier et second ordre dans le cas périodique.

Un premier théorème de moyennisation

On considère le problème à valeur suivant x_ (t) = « F (t; x(t)) +  » 2R (t; x(t); « ); x(0) = x0; (2:5) avec x 2 D  R n ; D un domaine borné et t  0. On suppose que F (t; x(t)) et R (t; x(t); « ) sont T-périodique en t. Le système moyenné associé au système (2:5) est y_(t) = « f 0 (y(t)); y(0) = x0; (2:6) o˘ f 0 (y) = 1 T Z T 0 F (; y) d: (2:7) Sous certaines conditions, les points díéquilibre du système (2:6) peuvent produire des solutions périodiques du système (2:5); lesquelles on les résume dans le théorème suivant Théorème 2.2.1 Considérons le système (2:5) et supposons que les fonctions vectorielles F; R; DxF; D2 xF et DxR sont continues et bornées par une 11 CHAPITRE 2. SUR LA TH…ORIE DE LA MOYENNISATION DANS LE CAS P…RIODIQUE constante M indépendante de  » dans [0;1[  D avec  » 2 ]