Systèmes dynamiques fractionnaires dégénérés
de contrôle et applications

Préliminaires et résultats fondamentaux

Dans ce chapitre, nous allons rappeler les notions essentielles, de mˆeme que les résultats fondamentaux, qui concernent les espaces de base, la théorie des opérateurs, les semi-groupes, la théorie du calcul fractionnaire, théorème de point fixe et différents théorèmes utilisés dans ce travail.

Espaces de Base

Dans toute la suite, Ω désigne un ouvert borné de R n muni de la mesure de Lebesgue dx, et de frontière ∂Ω suffisamment régulière. X et Y sont deux espaces de Banach des normes respectives k.kX, k.kY . Définition 1.1.1. Un espace de Banach est un espace véctoriel normé, complet pour une distance associée à la norme 1.1.1 Espaces L p (Ω) On désigne par L 1 (Ω) l’espace des classes de fonctions intégrables sur Ω à valeurs dans R (i.e., R Ω |u| < +∞). On pose kukL1 = Z Ω |u(x)|dx, p.p. = presque partout. Définition 1.1.2. Pour p ∈ [1, +∞[, on pose : L p (Ω) = {u : Ω −→ R, u mesurable et Z Ω |u(x)| p dx < ∞}. On vérifie que : kukLp =  Z Ω |u(x)| p dx 1 p , définit une norme dans L p (Ω). Définition 1.1.3. On définit l’espace des fonctions L∞(Ω) par L∞(Ω) = {u : Ω −→ R, u mesurable et ∃ une constante C telle que |u(x)| ≤ C p.p. sur Ω}, sa norme est kukL∞ = inf{C : |u(x)| ≤ C p.p. sur Ω}. Définition 1.1.4. Soient X un espace de Banach, 1 ≤ p ≤ +∞ et [0, T] un intervalle de R. (i) Si 1 ≤ p < +∞, alors on appelle espace de Lebesgue à valeurs dans X et on le note L p (0, T; X) l’espace des fonctions u tel que L p (0, T; X) = {u : [0, T] −→ X, t.q. la fonction t −→ ku(t)k p soit Lebesgue intégrable } Sa norme est kukLp(0,T;X) =  Z T 0 kuk p Xdt 1 p . (ii) Si p = ∞, alors on note L∞(0, T; X) = {u : [0, T] −→ X, t.q. l’application t −→ ku(t)k soit mesurable, sup esst∈[0,T]kukX soit fini }, sa norme est kukL∞(0,T;X) = sup esst∈[0,T]kukX. Proposition 1.1.1. L p (0, T; X) muni de la norme kukLp(0,T;X) , 1 ≤ p ≤ ∞ est un espace de Banach. Théorème 1.1.1. (voir [4], Inégalité de H¨older) Soient u ∈ L p (Ω) et v ∈ L q (Ω) avec 1 ≤ p ≤ ∞. Alors u.v ∈ L 1 (Ω) et Z Ω |uv| ≤ kukLp(Ω)kvkLq(Ω). Si p = q = 2 on aura l’inégalité de Cauchy-Schwarz. 

Espaces de Hilbert

Définition 1.1.5. Un espace de Hilbert est un espace vectotiel H muni d’un produit scalaire (u, v) et qui est complet pour la norme (u, u) 1 2 . Exemple 1.1.1. L’espace L 2 muni du produit scalaire hu, vi = Z Ω u(x)v(x) dx, u, v ∈ L 2 (Ω) est un espace de Hilbert. 1.1.3 Espaces de Sobolev 1.1.3.1 Dérivée faible Définition 1.1.6. Soit Ω un ouvert de R, et 1 ≤ i ≤ n, f ∈ L 1 loc(Ω) une fonction à une i-ème dérivée faible dans L 1 loc(Ω), s’il existe fi ∈ L 1 loc(Ω) telle que pour toute ϕ ∈ C∞ 0 on ait Z Ω f(x)∂iϕ(x)dx = − Z Ω fi(x)ϕ(x)dx. Cela revient à dire que fi est la i-ème dérivée de f ∈ L 1 loc(Ω) au sens des distributions, on écrira ∂if = ∂f ∂xi = fi , 1 ≤ i ≤ n. 1.1.3.2 Espace W1,p(Ω) Soit Ω un ouvert quelconque de R n et soit p ∈ R, o`u 1 ≤ p ≤ +∞. L’espace W1,p(Ω) est défini par W1,p(Ω) = {f ∈ L p (Ω) : tel que ∂if ∈ L p (0, T; X), 1 ≤ i ≤ n}, o`u ∂i est la i-ème dérivée faible de f ∈ L 1 loc(Ω). On pose H1 (Ω) = W1,2 (Ω). 1.1.3.3 Espaces Wm,p(Ω) Soit Ω un ouvert de R n , m ≥ 2 et p un nombre réel tel que 1 ≤ p ≤ +∞ on définit Wm,p(Ω) comme suit Wm,p(Ω) = {f ∈ L p (Ω) tel que Dαu ∈ L p (Ω), ∀α, |α| ≤ m}, o`u α ∈ N n , |α| = α1 + . . . + αn et Dαf = ∂ α1 1 , . . . , ∂αn n est la dérivée faible de f ∈ L 1 loc(Ω) au sens de la Définition 1.1.6. L’espace Wm,p(Ω) est muni de la norme kukW m,p = kfkLp + X 0<|α|≤m kDfkLp . On pose Hm(Ω) = Wm,2 (Ω). Remarque 1.1.1. Les espaces Hm sont des espaces de Hilbert avec le produit scalaire (f, g)Hm = (f, g)L2 + X 0<|α|≤m (Df, Dg)L2 , pour f, g ∈ Hm(Ω).

Espaces de Besov

Nous rappelons briévement la définition des espaces 2π-périodiques de Besov dans le cas vectoriel comme présenté dans [3]. Soit S (R) l’espace de Schwartz de toutes les fonctions régulières et rapidement décroissantes sur R. Soit D(0, 2π) l’espace de toutes les fonctions infiniment dérivables sur [0, 2π] avec la topologie localement convexe donnée par la famille des semi-normes. kfkα = sup x∈[0,2π] |f (α) (x)|, pour α ∈ N0 := N ∪ {0}. Soit D0 (0, 2π; X) := L(D(0, 2π; X)) l’espace de tous les opérateurs linéaires continus de D([0, 2π]) dans X. Afin de définir les espaces de Besov, nous considérons les sous-ensembles dyadiques de R : I0 = {t ∈ R : |t| ≤ 2}, Ik = {t ∈ R : 2k−1 < |t| ≤ 2 k+1}. Pour k ∈ N. Soit φ(R) l’ensemble de tous les systèmes φ = (φk)k∈N0 ⊂ S (R) satisfaisant supp(φk) ⊂ ¯Ik pour chaque k ∈ N0, P k∈N0 φk(x) = 1 pour x ∈ R, et pour chaque α ∈ N0, supx∈R,k∈N0 2 kα|φ (α) k (x)| < ∞. Pour f ∈ D0 (0, 2π; X), nous fixons ˆf(k) = f(ek). nous appelons ˆf(k) k ième coefficient de Fourier de f. Soit φ = (φk)k∈N0 ⊂ φ(R) est fixé. Pour 1 ≤ p, q ≤ ∞, s ∈ R, l’espace 2π-périodique de Besov à valeurs dans X est noté par Bs p,q(0, 2π; X) et défini par l’ensemble ( f ∈ D 0 (0, 2π; X) : kfkBs p,q := X j≥0 2 sjqk X k∈Z ek ⊗ φj (k) ˆf(k)k q p  1 q < ∞ ) , avec la modification usuelle si q = ∞, alors on a kfkBs p,∞(0,2π;X) = sup j≥0 2 sjk X k∈Z ek ⊗ φj (k) ˆf(k)kp, l’expression kfkBs p,q(0,2π;X) est une norme. Il est connu que Bs p,q(0, 2π; X) est indépendant du choix de φ et différent choix de φ conduisent à des normes équivalentes k.kBs p,q(0,2π;X) , muni de la norme k.kBs p,q(0,2π;X) , Bs p,q(0, 2π; X) est un espace de Banach. On sait aussi que si s1 ≤ s2, alors Bs2 p,q(0, 2π; X) ⊂ Bs1 p,q(0, 2π; X) (injection continue) [3]. Lorsque s > 0, il est prouvé dans [3] que Bs p,q(0, 2π; X) ⊂ L p p,q(0, 2π; X) (injection continue). De plus, f ∈ Bs+1 p,q (0, 2π; X) si et seulement si f est différentiable p.p. sur [0, 2π] et f 0 ∈ Bs p,q(0, 2π; X). Dans le cas o`u p = q = ∞ et 0 < s < 1, alors Bs ∞,∞(0, 2π; X) correspond à l’espace des fonctions continues H¨oldiriennes avec la norme équivalente kfkCs(0,2π;X) = sup t16=t2 kf(t2) − f(t1)kX |t2 − t1| s + kfk∞. 1.1.5 Espaces Triebel-Lizorkin. Soit φ = (φk)k∈N0 ⊂ φ(R) a fixé avec φ et φ(R) comme ci-dessus. Pour 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, s ∈ R, l’espace 2π-périodique de Triebel-Lizorkin à valeur dans X avec des paramètres s, p et q est dénoté par F s p,q(0, 2π; X) et défini par l’ensemble ( f ∈ D 0 (0, 2π; X) : kfkFs p,q := X j≥0 2 sjqk X k∈Z ek ⊗ φj (k) ˆf(k)k q X  1 q p < ∞ ) , avec la modification usuelle si q = ∞, alors on a kfkFs p,∞(0,2π;X) = sup j≥0 2 sjk X k∈Z ek ⊗ φj (k) ˆf(k)kX p , l’expression kfkFs p,q(0,2π;X) est une norme. Il est connu que F s p,q(0, 2π; X) est indépendant du choix de φ et différent choix de φ conduisent à des normes équivalentes k.kFs p,q(0,2π;X) , muni de la norme k.kf s p,q(0,2π;X) , F s p,q(0, 2π; X) est un espace de Banach. On sait aussi que si s1 ≤ s2, alors F s2 p,q(0, 2π; X) ⊂ F s1 p,q(0, 2π; X) (injection continue) [16]. Lorsque s > 0, il est prouvé dans [16] que F s p,q(0, 2π; X) ⊂ L p p,q(0, 2π; X) (injection continue). De plus, comme dans le cas de Bs p,q(0, 2π; X), f ∈ F s+1 p,q (0, 2π; X) si et seulement si f est différentiable p.p. sur [0, 2π] et f 0 ∈ F s p,q(0, 2π; X). Le cas exceptionnel p = ∞ ne sera pas considéré ici. 

Espaces UMD

Les espaces de Banach fournissent un cadre de travail parfois insuffisant. Il faut alors se placer dans un espace ayant des propriétés supplémentaires, il s’agit des espaces UMD (Unconditional Martingale Difference). A l’origine, ces espaces font intervenir la théorie des martingales à valeurs vectorielles. Cependant, on utilise ici une autre définition équivalente. Celle-ci utilise la transformée de Hilbert. L’équivalence entre les deux définitions est démontrée dans Burkholder [17] et Bourgain [9]. Soit X un espace de Banach et 1 < p < ∞. Pour f ∈ L p (R; X) et 0 < ε < R, soit (Hε,Rf)(t) = 1 π Z ε≤|t−s|≤R f(s) t − s ds = (ψε,R ∗ f)(t), t ∈ R, o`u ψε,R(t) =    1 πt si ε ≤ t ≤ R. 0 autrement. Puisque, ψε,R ∈ L 1 (R), alors Hε,R ∈ L(L p (R; X)) par l’inégalité de Young. Pour f ∈ S (R), les transformations de Hilbert de f sont données par Hf = lim ε↓0R−→∞ Hε,Rf. On dit qu’un espace de Banach X est UMD, si la transformée de Hilbert s’étend à un opérateur borné sur L p (R; X) pour certains (et ensuite tous) 1 < p < ∞. Une autre notion importante dans la théorie de l’espace de Banach est celle de type de Fourier pour un espace de Banach. Les conditions pour les multiplicateurs de Fourier dans Bs p,q(0, 2π; X) sont simplifiées lorsque l’espace de Banach impliqué a un type de Fourier non trivial. Pour le plus détails sur la notion d’espaces UMD Banach, nous renvoyons le lecteur à [2]. Exemple 1.1.2. 1. Tout espace de Hilbert est un espace UMD. 2. Soient Ω un espace mesuré σ-fini et p ∈]1, +∞[. Si X est un espace UMD, alors L p (Ω, X) est un espace UMD. 3. Tout sous-espace fermé d’un espace UMD est un espace UMD. Tout espace isomorphe à un espace UMD est un espace UMD. 1.2 Théorie des opérateurs Soient (X , k.kX ), (Y, k.kY ) deux espaces de Banach. 1.2.1 Opérateurs linéaires Définition 1.2.1. Un opérateur linéaire de X dans Y est une application linéaire A : D(A) ⊂ X −→ Y, tel que pour tout x, y ∈ D(A) et pour tout λ ∈ C, on a – A(x + y) = Ax + Ay, – A(λx) = λAx. ( On écrit toujours A(x) = Ax pour tout x ∈ D(A)). Remarque 1.2.1. D(A) est appelé le domaine de A. On dit que A est à domaine dense (ou densément défini) si D(A) = X , i.e. si pour tout x ∈ X , il existe une suite (xn)n≥0 d’éléments de D(A) telle que x = limn−→+∞ xn. Remarque 1.2.2. Pour un opérateur linéaire A : D(A) ⊂ X −→ Y, nous noterons par : imA = {y ∈ Y, ∃x ∈ D(A) : y = A(x)}, l’image de A. kerA = {x ∈ D(A) : A(x) = 0}, le noyan de A, G(A) = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ D(A), y = Ax}, le graphe de A. Remarque 1.2.3. Si A est injectif, on peut définir l’inverse de A, noté A−1 par A−1 : A(D(A)) −→ D(A) y 7−→ A−1y = x o`u x ∈ D(X ) est défini par Ax = y. Définition 1.2.2. Soient A et B deux opérateurs linéaires de X dans Y. On dit que B est une extension ou un prolongement de A et on note A ⊂ B si ( D(A) ⊂ D(B) et ∀x ∈ D(A), Ax = Bx. 6 CHAPITRE 1. PRELIMINAIRES ET R ´ ESULTATS FONDAMENTAUX ´ 1.2.1.1 Opérateurs linéaires bornés Définition 1.2.3. On dit qu’un opérateur linéaire A défini de X tout entier dans Y est borné s’il est continu, i.e., si pour tout x0 ∈ X ,  lim x−→x0 kx − x0kX = 0 ⇒  lim x−→x0 kAx − Ax0kY = 0 . Ce qui est équivalent à limx−→x0 kAxkY = 0. On note L(X ; Y) l’espace des opérateurs linéaires bornés de X dans Y. On pose L(X ) := L(X ; X ). Proposition 1.2.1. On définit alors une norme sur L(X ; Y) notée k.kL(X;Y) et définie pour tout A ∈ L(X ; Y) par kAkL(X;Y) := sup x∈X, x6=0 kAxkY kxkX = sup kxkX ≤1 kAxkY = sup kxkX =1 kAxkY . On a l’équivalence suivante A ∈ L(X ; Y) ⇔  ∃M > 0, ∀x ∈ X , kAxkY ≤ MkxkX  . Proposition 1.2.2. Si Y est un espace de Banach, alors L(X ; Y) est un espace de Banach. Remarque 1.2.4. Une suite des opérateurs {An} ⊂ L(X ; Y) est appelée uniformément convergente à un opérateur A ∈ L(X ; Y) si limn−→∞ kAn − AkL(X;Y) = 0, Cette suite est fortement convergente vers A si ∀x ∈ X ; limn−→∞ kAn − AkY . tel que la convergence est indiquée comme suit : A = s-limn−→∞ An. Théorème 1.2.1. Soient X et Y deux espaces de Banach, A ∈ L(X ; Y), imA = Y et A est inversible. Alors A est un opérateur inversible continu . Théorème 1.2.2. Soit X un espace de Banach et soit A ∈ L(X ) tel que kAk < 1. Alors I − A est un opérateur inversible continu et k(I − A) −1 kL(X) ≤ 1 1 − kAkL(X) . 

Opérateurs linéaires fermés

Définition 1.2.4. Un opérateur linéaire de X dans Y est fermé si son graphe est un sous-espace vectoriel fermé de X × Y. Définition 1.2.5. Un opérateur linéaire est dit fermable s’il admet une extension fermée. Proposition 1.2.3. Un opérateur linéaire A : D(A) ⊂ X −→ Y est fermé si et seulement si 7 CHAPITRE 1. PRELIMINAIRES ET R ´ ESULTATS FONDAMENTAUX ´ pour toute suite (xn)n≥0 d’éléments de D(A) telle que ( xn −→ x dans X , Axn −→ y dans Y, on a x ∈ D(A) et Ax = y. L’ensemble des opérateurs fermés A : D(A) −→ L(Y) avec domaine de définition dense dans l’espace X sera notée par Cl(X ; Y). L’ensemble des opérateurs Cl(X ; X ) seront désignés par Cl(X ). Théorème 1.2.3. Si un opérateur A est fermé et inversible, alors l’opérateur A−1 est fermé. Définition 1.2.6. Soit A un opérateur linéaire fermé sur X . L’ensemble résolvant ρ(A) de A est définit par ρ(A) := {λ ∈ C : (λI − A) est inversible dans L(X )}. Si λ ∈ ρ(A) on définit la résolvante Rλ(A) de A au point λ par Rλ(A) := (λI − A) −1 . Le spectre de A, noté σ(A) est défini par σ(A) = C\ρ(A). Proposition 1.2.4. Soit A un opérateur linéaire fermé sur X . On a la formule de l’identité de la résolvante, i.e., pour tout λ, µ ∈ ρ(A) Rλ(A)Rµ(A) = Rλ(A) − Rµ(A) µ − λ . Proposition 1.2.5. Soit A un opérateur linéaire fermé sur X . Alors l’application R : λ ∈ ρ(A) 7−→ Rλ(A) = (λI − A) −1 est analytique sur ρ(A). Proposition 1.2.6. Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur linéaire. 1. Si A est un opérateur fermé, alors pour tout B ∈ L(X ; Y) l’opérateur A + B : D(A) ⊂ X −→ Y est fermé. 2. Si A est un opérateur fermé et injectif alors A−1 est fermé. 3. Si A est un opérateur fermé à valeurs dans X et D(A) est fermé dans X alors A est continu de D(A) dans X (Application directe du théorème du graphe fermé). 4. Si A est un opérateur continu de D(A) dans X , alors A est fermé si et seulement si son domaine est fermé. 5. Si ρ(A) 6= ∅ alors A est fermé. Théorème 1.2.4. L’ensemble résolvant ρ(A) est ouvert, et le spectre σ(A) est fermé. Définition 1.2.7. Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur linéaire, on peut munir D(A) d’une norme notée k.kD(A) et appelée norme du graphe, elle est définie pour tout x ∈ D(A) par kxkD(A) = kxkX + kAxkY .