Premiers éléments de mécanique de milieux continus généralisés et d’homogénéisation 

Quelques éléments sur les milieux continus généralisés

Un milieu généralisé est une extension du milieu continu classique de Cauchy, qui est tr`es bien connu dans tous les manuels de “Mécanique des milieux continus”. Le milieu classique suppose que pour chaque point matériel, il n’y a que trois degrés de liberté (ddls) de déplacement u(u1, u2, u3), et la mesure de déformation est le gradient au premier ordre des ddls, soit u ⊗ ∇. Ainsi un point matériel ne se déplace suivant que trois directions dans l’espace 3D. Cette hypoth`ese n’est plus suffisante dans les milieux généralisés. Ces derniers se composent de deux classes : milieu d’ordre supérieur o`u les nouveaux degrés de liberté χ∼ , Φ … sont introduits, milieu de degré supérieur o`u les gradients d’ordre supérieur u ⊗∇⊗∇… sont utilisés pour mesurer la déformation. Dans les parties suivantes, les milieux continus typiques sont présentés : 

Milieu de Cosserat

Ce milieu est l’archétype du milieu d’ordre supérieur. Il y a un autre nom pour ce milieu continu généralisé : milieu micropolaire (comme dans quelques contributions). Il est nommé Cosserat en l’honneur des fr`eres Cosserat dont l’ouvrage commun (Cosserat and Cosserat, 1909) était oublié pendant une longue période. Ce milieu est considéré comme une collection continue de particules. Chacune de derni`eres se comporte comme un corps rigide. Par conséquent, chaque point matériel est décrit par ses déplacements et la rotation de sa microstructure. Ainsi, les composantes du vecteur rotation Φ (Φ1, Φ2, Φ3) sont ajoutés comme les degrés de liberté supplémentaires. Ici, seulement les caractéristiques essentielles du milieu de Cosserat sont abordées, pour plus de détails, le livre (Cosserat and Cosserat, 1909) vient d’ˆetre republié `a l’occasion de la conférence Cosserat.

Calcul analytique

Dans cette section, l’approche analytique par les milieux généralisés est présentée afin de bien illustrer le fonctionnement de ces mod`eles. Un probl`eme de double cisaillement est considéré sur la figure 2.1, la poutre homog`ene sera modélisée successivement par le milieu de Cosserat, le milieu du second–gradient et le milieu micromorphe. L’objectif de cette section est de donner une vue plus détaillée des milieux généralisés et de comparer le calcul analytique avec le calcul par éléments finis, grˆace aux mod`eles des milieux généralisés, implémentés dans le code Zébulon. La courbe de déplacement horizontal dans le cas de l’approche par le milieu de Cosserat sera réutilisée dans le chapitre 5.

Approche par le milieu de Cosserat/milieu micropolaire

Les conditions aux limites dans le cas de milieu de Cosserat sont de la forme suivante : u1 = δ 2 , u2 = 0, Φ = Φ3 = 0 (2.26) en x2 = h, o`u δ est le glissement imposé, u1 = − δ 2 , u2 = 0, Φ = Φ3 = 0 (2.27) en x2 = −h. Les microrotations sont supposées nulles en haut et en bas, simulant un encastrement du milieu de Cosserat. On s’intéresse ici `a une solution invariante selon x1 de sorte que les champs de déplacement et de micro–rotation cherchés ne dépendent que de x2.