Une version faible de la conjecture de Gras

 Notations, conventions

Dans ce chapitre, on fixe un corps global k de caractéristique ρ. Si ρ = 0 on suppose que k est un corps quadratique imaginaire. Pour toute place ultramétrique p d’un corps global, on note vp la valuation normalisée en p. Si ρ = 0, on note Ok l’anneau des entiers de k, c’est-à-dire la fermeture intégrale de Z dans k. Si ρ 6= 0, on fixe une place ∞ de k, et on note Ok l’anneau des x ∈ k tels que 0 ≤ vp(x) pour toute place p 6= ∞ de k. On prolonge arbitairement ∞ à une clôture algébrique k alg de k. Pour toute extension abélienne K/k de degré fini, on note OK la fermeture intégrale de Ok dans K. Il est bien connu que OK est un anneau de Dedekind, dont le groupe des classes Cl (OK) est fini. On fixe maintenant K. On pose G := Gal (K/k), g := [K : k] , et Zhgi := Z  g −1  . Pour tout caractère rationnel irréductible ψ de G et tout Zhgi-module M, on note Mψ la ψ-partie de M, définie par Mψ := eψM, où eψ := g −1X σ∈G ψ(σ)σ −1 est l’idempotent attaché à ψ. Dans ce chapitre, nous démontrons pour tout caractère irréductible rationnel ψ de G l’égalité # 

Une version faible de la conjecture de Gras, pour les caractères rationnels

Image du groupe des unités de Stark par le logarithme de Dirichlet. Pour toute extension abélienne L/k, on définit le logarithme de Dirichlet ℓL : L × /R [Gal(L/k)] , x  / P σ∈Gal(L/k) v∞ (x σ ) σ −1 . On rappelle que l’image de O × L est un Z-réseau (au sens du chapitre 1) du R-espace vectoriel R [Gal (L/k)], de rang [L : k] − 1 sur Z, inclus dans R [Gal (L/k)] (1 − e1). Soit O la fermeture intégrale de l’anneau principal Zhgi dans Q (µg), où µg est le groupe des racines g-ièmes de l’unité dans C. Dans la suite, pour tout sous-anneau A de C et toute partie P de C [G], on note AP le sous-A-module de C [G] engendré par P. Proposition 2.3.1.1 Soit χ un caractère complexe irréductible et non trivial de G. Soit χpr le caractère sur Gal