VALIDATION ANALYTIQUE DU MODELE DE PLAQUE ALVEOLAIRE EQUIVALENT

COHERENCE ET VALIDATION DU MODELE SUR UN CAS SIMPLE

LA PLAQUE ALVEOLAIRE EN MATERIAU ISOTROPE

La motivation de cette étude trouve son origine dans l’examen des équations d’équilibre (A4.2.1) à (A4.2.15) qui révèlent l’existence de nombreux couplages entre les efforts mésoscopiques N’^ et les efforts macroscopiques !A¿ap.íW0^,Q.a (a, ß = l,2), et qui rend la compréhension du comportement alvéolaire du modèle de plaque homogénéisée difficile. Si les efforts Nl u ne dépendent que des efforts de plaque dans la direction e_x, ihin,’Mu,QA,\\ n’en est pas de même pour les efforts mésoscopiques N’22 qui dépendent des efforts ‘HJZI.’MYXQ-I ma^ s également des efforts 9¿lvMn,Cll , et pour les efforts N’n qui sont en relation avec tous les efforts macroscopiques du milieu équivalent (i = 1,2,3,4,5). Pour tenter de donner une explication pertinente du comportement, nous avons donc choisi de simplifier la structure alvéolaire du point de vue du matériau (isotrope) et du chargement (un seul effort macroscopique), pour ne garder que sa spécificité géométrique. Dans cette première partie, nous présentons ainsi une analyse de plaque alvéolaire constituée d’un matériau isotrope et soumise à un chargement de flexion pure dans la direction transversale (direction e¡ ), puis dans la direction longitudinale (direction e2). Nous proposons de mettre en lumière et de décrire les mécanismes élémentaires de comportement de la structure alvéolaire, à l’échelle mésoscopique, à partir des équations d’équilibre du modèle de plaque alvéolaire équivalent, et d’en étudier l’influence sur le comportement global de la structure. Notre objectif est bien sur de vérifier si le comportement de la structure qui ressort des équations du modèle est cohérent avec le comportement réel. Nous effectuerons une validation qualitative et quantitative du comportement de la structure alvéolaire en flexion T pure, en utilisant soit une solution exacte lorsqu’elle existe, soit, le cas échéant, le code de calcul par éléments-finis SAMCEF. Avant d’aborder les exemples simples de chargement en flexion pure, regardons comment s’écrit la loi de comportement d’une plaque alvéolaire homogénéisée pour un matériau isotrope.

Comportement d’une plaque alvéolaire en matériau isotrope

 La matrice des souplesses alvéolaire homogénéisée (4.85) s’écrit dans le cas d’un matériau isotrope, La relation (5.1) montre que l’écriture de la matrice des souplesses [Aa/v] se simplifie lorsque le matériau est isotrope. Certains coefficients de souplesses de couplage deviennent nuls, Ö I 6 — û 2 6 0 d i(, = d26 0 As = o Les coefficients b~ sont presque tous nuls. Il subsiste cependant un coefficient &66 qui témoigne d’un couplage entre les efforts de cisaillement dans le plan 9¿n et les moments de torsion Ml2 et lié à la structure particulière de l’alvéolaire. La présence de ce coefficient dans la matrice des souplesses rend la validation analytique du modèle de plaque délicate pour des problèmes de flexion 2D même lorsque le matériau est isotrope. Dans ce qui suit nous nous sommes donc intéressés uniquement à la résolution de problèmes de flexion unidimensionnelle.

Etude de la flexion pure suivant la direction

 Examinons pour commencer une plaque alvéolaire isotrope sollicitée en flexion pure dans la direction e¡. Pour un panneau de type sandwich ou alvéolaire, une sollicitation de flexion pure de moment M se traduit par l’application d’un couple d’efforts qui tend à mettre une des deux peaux en traction dans la direction de sollicitation et l’autre en compression. Les conditions aux limites sont représentées sur la figure (5.1). Le seul effort macroscopique qui intervient dans notre problème est le moment de flexion Ml{. Avec le choix de convention de signe utilisé dans le développement du modèle de plaque alvéolaire, ce moment Mn est ici négatif.