Validation du FEM en Turbulence

Turbulence Homogène Isotrope (THI) 

La turbulence homogène isotrope est la configuration la plus simple pour étudier certains phénomènes de turbulence. En effet, l’isotropie autorise une analyse théorique des grandeurs caractéristiques de la turbulence, statistiquement identiques en tout point de l’écoulement. Les détails sur les caractéristiques d’un tel écoulement sont disponibles dans Chassaing [2000], et plus particulièrement dans Riber [2007] pour le cas test étudié ici. Le maillage de cas test est un cube de 2πmm de côté composé de 643 cellules, périodique dans toutes les directions. Pour initier la THI, on utilise ici un spectre de PassotPouquet (Passot and Pouquet [1987]) : E(k,t) = 16u 02 f,t ke r 2 π  k ke 4 exp −2  k ke 2 ! (4.1) où E est l’énergie fonction de la fréquence k, et ke la fréquence la plus énergétique. Ce spectre analytique a la particularité de concentrer toute l’énergie autour de ke. Il ne permet pas de reproduire la zone inertielle du spectre et est donc limité aux faibles nombres de Reynolds. Il génère cependant un champ suffisamment turbulent pour agir sur la dynamique des particules. Les paramètres du champ turbulent généré ici sont résumés dans le tableau 4.2. Les variables d’adimensionnalisation sont données dans le tableau 4.1, où les variables adimensionnées sont signalées par l’exposant ’+’.  TABLE 4.2 – Paramètres d’initialisation du spectre de Passot-Pouquet : vitesse turbulente u 0 , longueur d’onde la plus énergétique le = 2π/ke, viscosité dynamique µf , et masse molaire Mf . u 0+ l + e µf(kg.m −1 .s −1 ) Mf(kg.mol−1 ) 0.1 2.2 2.02 10−3 29.0 10−3 Le spectre théorique et le spectre généré ne sont pas identiques du fait de la discrétisation. De plus, le champ de vitesse généré est à divergence nulle et donc ne vérifie pas l’équation de quantité de mouvement. Pour obtenir un spectre physique, on réalise une simulation préalable pendant un temps caractéristique des grandes structures t0 = 4.233tre f (Riber [2007]). Les différences entre spectres théorique, généré, et après un temps t0 sont visibles sur la figure 4.1. 1 5 25 k + 1e-21 1e-18 1e-15 1e-12 1e-09 1e-06 E + Theroritical Spectrum at t=0 Computed Spectrum at t=0 Physical Spectrum at t=t0 FIGURE 4.1 – Spectre de Passot-Pouquet : comparaison entre spectre théorique (ligne continue), spectre généré à t = 0 (ligne pointillée), et spectre à t = t0. Le résultat de AVBP est comparé au résultat de NTMIX (Vermorel et al. [2003]) qui est obtenu avec un schéma de 6ème ordre. La validation se fait par rapport aux lois de décroissance de l’énergie cinétique du gaz en fonction du temps. Les propriétés de la turbulence à t = 0 et t = t0 sont listées dans le tableau 4.3. La figure 4.2 montre que AVBP produit des résultats proches de NTMIX, et que les solutions obtenues avec les deux codes sont proches de la solution analytique. TABLE 4.3 – Paramètres de la phase gazeuse à t = 0 et t = t0 où ε est la dissipation, Ret le nombre de Reynolds turbulent, lt l’échelle intégrale, η l’échelle de Kolmogorov, τL le temps de l’échelle intégrale et τK le temps de Kolmogorov. Solution analytique (k-ε) NTMIX (6th order Scheme) AVBP (3rd order scheme) FIGURE 4.2 – Décroissance de l’énergie turbulente de la THI : solution analytique obtenue d’après le modèle k-ε (ligne pointillée), calcul NTMIX (cercles pleins), calcul AVBP (carrés vides). 

 THI diphasique 

A t = t0, on injecte les particules de manière homogène (nl = cte, avec Ug(x) = Ul(x). Les caractéristiques de la phase liquide sont définies dans le tableau 4.4. TABLE 4.4 – Paramètres de la phase liquide injectée en THI à t = t0. τ + p StL StK ρl(kg.m −3 ) dl(µm) Ul 5.47 1.2 2.5 1916 17.3 Ug Pour qualifier l’écoulement fluide-particule, on détermine deux nombres de Stokes : StL = τp τL (4.2) StK = τp τK (4.3) où τl et τK sont les temps caractéristiques de l’échelle intégrale de la turbulence et de l’échelle de Kolmogorov (Chassaing [2000]). Le nombre de Stokes StK est très important pour qualifier les effets de concentration préférentielle. En effet, le maximum de ségrégation est obtenu autour de StK = 1 (Simonin et al. [2006]). Dans ce régime, les particules sont éjectées des zones de forte vorticité, pour s’accumuler dans les zones de faible vorticité, comme on peut le voir sur la figure 4.3. FIGURE 4.3 – Turbulence Homogène Isotrope (plan de coupe médian selon z) : fraction volumique de liquide (gauche) et vorticité du gaz (droite). Pour évaluer les effets de concentration préférentielle, on fait appel à une fonction de dispersion (Simonin et al. [2006]), ici associée à la taille des cellules ∆x : g ∆x pp = n 2 p (~x)
hnp(~x)i 2 (4.4) Notre but ici est de valider le formalisme eulerien mésoscopique. On se propose donc d’étudier les effets de concentration préférentielle et de décroissance énergétique induits par une turbulence homogène et isotrope. Les particules sont distribuées de manière homogène. Les résultats obtenus par le formalisme eulérien mésoscopique sont comparés aux résultats de DPS (Discrete Particle Simulation) obtenus avec NTMIX. D’après Elgobashi and Truesdell [1992], la DPS est capable de capturer les composantes essentielles du mouvement des particules, et est donc un outil fiable pour valider le FEM. Les calculs sont effectués sans considérer l’effet du liquide sur le gaz (« one-way coupling »). La décroissance énergétique de la phase liquide peut être vue sous plusieurs angles : l’énergie du mouvement mésoscopique est notée < U 2+ l >, l’énergie du mouvement décorrélé < δΘ+ l >, et l’énergie totale + < δΘ+ l >. La figure 4.4 trace les différentes contributions énergétiques pour le FEM et la DPS. Le calcul FEM est en excellent accord avec le calcul DPS en terme d’énergie totale et d’énergie du mouvement moyen. On remarque aussi que l’énergie du mouvement décorrélé est faible par rapport à celle du mouvement moyen. Elle est retracée sur la figure 4.5, montrant une comparaison satisfaisante. Si on s’intéresse aux effets de concentration préférentielle, on remarque d’après la figure 4.6 que les résultats du FEM en terme de dispersion sont en très bon accord avec la simulation DPS. 0 10 20 30 t + 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 DPS

DPS <δθl + > MEF <δθl + > FIGURE 4.4 – Evolution de l’énergie moyenne de la phase dispersée : énergie totale obtenue par DPS (cercles) et par FEM (ligne continue) ; énergie corrélée obtenue par DPS (carrés) et FEM (ligne discontinue) ; énergie décorrélée obtenue par DPS (triangles) et FEM (ligne pointillée). 0 10 20 30 t + 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 <δθl + > DPS MEF FIGURE 4.5 – Evolution de l’énergie décorrélée : DPS (triangles) et FEM (ligne pointillée). 

Influence des paramètres numériques

 Les résultats précédents ont été obtenus avec la stratégie numérique exposée au chapitre précédent, ce qui a permis d’améliorer les résultats de Riber [2007] et Roux [2009]. On se propose ici d’analyser l’influence des senseurs de viscosité artificielle utilisés dans AVBP sur ce cas complexe. La figure 4.7 compare les champs de densité de nombre de gouttes et de senseur de viscosité artificielle obtenus avec le senseur JR et le senseur CM5. On remarque que les gradients sont plus marqués dans la simulation CM5 que dans la simulation JR. Ceci est confirmé par les champs de senseur de viscosité artificielle. Le senseur JR s’applique plus fortement que le senseur CM5, surtout là où le nombre de gouttes est le plus important, alors que le senseur CM5 s’applique principalement dans les zones de vide (limitation dûe à l’impossibilité de simuler un nombre de gouttes nul en schéma centré).