Vers une physique plus complète

L’objet de ce chapitre est de prendre en compte des phénomènes physiques plus complexes afin de rendre les simulations plus réalistes. Jusqu’à présent, le modèle étudié était simplifié avec des termes négligés, comme la gravité et la pression capillaire, et des variables étaient prises constantes sur tout le domaine (perméabilité, porosité,…).Ce chapitre va enrichir le système d’équations de deux manières. Dans une première partie §6.1, l’effet de la gravité sera pris en considération dans le modèle et son impact sur le schéma 9P2s sera étudié d’un point de vue discrétisation mais aussi sur les résultats numériques. Ensuite, quelques cas seront exposés dans §6.2 lorsque la perméabilité n’est plus constante et homogène mais hétérogène dans tout le domaine.Dans les chapitres précédents, le modèle considéré reposait sur plusieurs hypothèses sim- plificatrices. Dans cette partie, le modèle (2.4) est complété par la gravité. Celle-ci va attirer la solution dans la direction de g au détriment des autres directions. La résolution de ce système d’équations (6.3) est réalisée avec un schéma d’Euler en temps ainsi qu’à l’aide du schéma 9P2s présenté chapitre 5. Ce schéma a été préféré puisqu’il donne les meilleurs résultats sur les cas tests étudiés.Cette résolution, bien qu’étant découplée, possède un inconvénient sur la restriction du pas de temps. En effet, le calcul explicite de la saturation doit alors vérifier une condition de stabilité de type CFL [32]. Celle-ci sera détaillée par la suite.

Discrétisation en espace

Comme pour les résolutions des chapitres précédents, les mobilités sont décentrées par un simple décentrage amont (formule (2.53)) ou par moyenne harmonique (formule (2.52)). La gravité n’a pas d’incidence sur les flux aux bords du domaine. Ceux-ci sont identiques à ceux du schéma 9P2s et correspondent aux formules (5.6) et (5.7). Comme décrit au chapitre 2, l’étape suivante est d’utiliser les pressions afin de calculer les flux apparaissant dans (6.7). Ici, à cause de la prise en compte de la gravité, il faut aussi calculer des flux gravitaires définis par Comme le schéma 9P2s est utilisé pour la discrétisation du système (6.3), ces flux gravitaires vont être nécessaires pour le calcul des flux gravitaires de type neuf points. Ces flux sont donnés par Le choix de décentrage de h est effectué de cette manière pour que la phase la plus légère, l’huile dans le cas considéré ici, aille dans le sens inverse de la gravité dans le réservoir tandis que la phase la plus lourde, l’eau ici, va aller dans le sens de la gravité vers le fond du réservoir [48].

D’un point de vue numérique, concernant les flux de bords, aucun contre- courant n’est autorisé. Pour un bord injecteur, le choix est fait de ne faire rentrer que de l’eau, même si la gravité impose à l’huile de sortir. De manière identique, pour un bord producteur, aucun fluide ne peut rentrer dans le domaine sous l’effet de la gravité. Démonstration. Pour une question de simplicité dans les équations, la démonstration de cette proposition est réalisée dans le cas du schéma 5P. Elle se transpose aisément au schéma 9P2s en considérant les flux diagonaux. Ce cas test s’inspire du cas à 5 puits présenté §2.4.2 mais ne comporte que trois puits avec un puits injecteur et deux puits producteurs disposés de manière symétrique par rapport au puits injecteur et visualisés sur les figures 6.3 et 6.4. De sorte à faire intervenir la gravité, le domaine Ω Les solutions obtenues par les schémas 5P (a) et 9P2s (b) sont représentées sur la figure 6.5 en fin de simulation. L’effet de gravité influence beaucoup la solution en maillage diagonal du schéma 5P en l’attirant de façon importante vers le bas du domaine. De ce fait, les champs de saturation entre les maillages diagonal et parallèle sont très différents, plus qu’ils ne l’étaient sans gravité (figure 2.21). Cependant et comme pour le cas sans gravité à 5 puits, le schéma 9P2s contre parfaitement l’effet d’orientation de maillage puisque les solutions obtenues sur les deux maillages sont visuellement identiques. S’agissant d’un maillage carré, ce résultat n’est pas surprenant mais la gravité, très influente sur le schéma 5P, ne l’est pas sur le schéma 9P2s.