Théorie d’un diagnostic de défauts par ACP

Introduction La détection et le diagnostic de défauts sur les processus forment une démarche essentielle afin de leur assurer un fonctionnement sˆur et efficace. Selon Kariwala et al. (2010) et Kourti (2005), une telle démarche peut se baser généralement sur des modèles quantitatifs, des modèles qualitatifs ou l’historique de processus qui représente l’intérêt de cette thèse. Dans ce contexte, le contrôle statistique de processus a reçu une attention ainsi qu’un succès considérables aux niveaux des applications. Ce succès peut être attribué à la disponibilité en permanence d’une grande quantité de données collectées lors du fonctionnement normal de processus. Ainsi, ces données favorisent le développement des modèles statistiques qui peuvent atteindre une grande précision dans la détection de toutes déviations par rapport à un fonctionnement normal. Dans ce cadre, l’ACP est une approche très adaptée pour un contrôle statistique de processus. Ainsi, elle a été intensément explorée dans le suivi et le diagnostic de plusieurs processus (Nomikos et MacGregor, 1995; Qin, 2003; Tharrault et al., 2008). Dans la littérature, le thème du diagnostic de défauts a quand même reçu une attention moins considérable que celui de la détection de défauts. L’approche la plus classique et en même temps très populaire pour un diagnostic est basée sur l’analyse des contributions (Nomikos et MacGregor, 1995; Yue et Qin, 2001; Qin, 2003; Alcala et Qin, 2009; Kariwala et al., 2010; Alcala et Qin, 2011). Le principe des contributions s’appuie généralement sur la quantification de la part de chaque variable dans le calcul d’un indice de détection donné. Dans ce cadre, nous avons proposé une nouvelle forme de contribution par décomposition partielle de l’indice SP E (Mnassri et al., 2008b, 2009b). Une analyse de diagnosticabilité de défauts basée sur les contributions montre que celles-ci garantissent un diagnostic correct uniquement si les défauts sont simples (unidimensionnels) et de grandes amplitudes. Dans le cas contraire, les approches des contributions peuvent généralement considérer d’autres variables en défaut. Ainsi, il sera difficile d’isoler celles réellement en défaut. En outre, les contributions ne permettent pas d’isolation des défauts multiples o`u plusieurs variables sont simultanément en défaut en raison de la corrélation entre les variables. Cette corrélation a été la clé d’un diagnostic mieux décisif basé sur l’approche de reconstruction des indices de détection (Dunia et al., 1996; Dunia et Qin, 1998b,c,a; Yue et Qin, 2001; Qin, 2003; Alcala et Qin, 2009, 2011). Le principe d’une telle méthode s’est fondé sur l’élimination de l’influence de défauts sur l’indice de détection par une reconstruction des variables à l’aide d’un modèle ACP. Le succès de l’utilisation de l’ACP pour le diagnostic de défauts sur les processus en utilisant l’approche de reconstruction a été enrichi par le développement d’un concept fondamental qui représente l’isolabilité de défauts. On définit l’isolabilité comme étant la capacité d’un diagnostic à retrouver les origines de défauts. Dans la littérature, un tel concept a été négligemment étudié dans le cadre de l’ACP en le développant uniquement pour une reconstruction de l’indice SP E (Dunia et Qin, 1998b,c,a; Qin, 2003). Ce chapitre a pour objectif d’étendre et d’unifier un tel concept à tout indice de détection ayant une forme quadratique. Ainsi, cette idée nous a permis la réalisation d’une analyse théorique d’isolabilité de défauts par reconstruction de la distance combinée versus celles des indice que combine en mettant en avant l’avantage que peut jouer une telle distance dans l’isolation de défauts plus complexes (Mnassri et al., 2012a).

Isolation et isolabilité de défauts par reconstruction

En suivant une démarche semblable à celle de la détectabilité de défauts évoquée dans la section 3.2 du troisième chapitre, nous pouvons ainsi généraliser l’étude d’isolation et isolabilité de défauts par reconstruction d’un indice de détection quelconque ayant une forme quadratique. 

Généralisation de l’isolation et l’isolabilité de défauts 

En s’appuyant sur l’approche de reconstruction, nous notons que les défauts simples (unidimensionnels) représentent un cas particulier. Pour cela, nous envisageons une étude plus généralisée en considérant des défauts multiples (multidimensionnels). Nous avons supposé à partir de l’équation (2.59) qu’un Jème ensemble composé de r variables est théoriquement affecté par un défaut réel noté FJ . Dans la pratique, un tel défaut est inconnu ce qui a suscité une démarche pour son isolation. 

Isolation de défauts 

Afin d’identifier et isoler le défaut réel FJ qui est par hypothèse inconnu, le principe de l’approche de reconstruction présume un défaut supposé ou assumé FI affectant un Ième ensemble composé de r variables supposées en défaut. Ainsi, des reconstructions d’état en se basant les indices de détection et un modèle ACP peuvent conduire à l’isolation du défaut réel FJ . Nous rappelons que la reconstruction consiste à estimer un vecteur xI de données reconstruites censées être insensibles au défaut assumé FI : xI (k) = x(k) − ΞI f(k) = x(k) − ΞI ˆfI (k) o`u ˆfI (k) est une estimation optimale de f(k) qui représente le vecteur d’amplitudes des composants du défaut dans les directions des variables constituant le Ième ensemble.

Isolabilité de défauts

Dans le cadre de l’isolabilité, l’amplitude du défaut réel FJ doit être suffisamment importante afin de garantir que les valeurs de γI soient supérieures à Γ2 I . Cette contrainte peut nous mener à la détermination d’une condition suffisante d’isolabilité de défauts

 Analyse d’isolabilité par reconstruction de l’indice combiné versus celles de SPE et T2 de Hotelling

L’avantage majeur le plus communément connu par l’utilisation de l’indice combiné se résume dans la surveillance de processus à travers un seul indicateur en considérant le sous-espace principal ainsi que celui résiduel. Néanmoins, nous ignorons encore d’autres avantages que peut présenter une telle distance. Evidemment, cette dernière combine l’indice SP E et celui du T2 de Hotelling. L’intérêt d’une telle combinaison est négligemment justifié théoriquement. Dans ce cadre, Mnassri et al. (2011b, 2012a) ont montré à travers une analyse théorique que la reconstruction de l’indice combiné peut bénéficier d’un atout plus avantageux dans la détection et l’isolation de défauts que les statistiques SP E et T2. Plus précisément, les travaux de Mnassri et al. (2011b) représentent une analyse de détectabilité de défauts par l’indice combiné versus celles des indices que combine. Puisque l’isolabilité de défauts représente un concept plus généralisé que celui de la détectabilité, nous limitons dans cette thèse à une analyse d’isolabilité par reconstruction de l’indice combiné versus celles de SP E et T2 de Hotelling.