Analyse planaire d’une barge  portant à une éolienne et munie d’un TLCD

 Dans le chapitre précédent nous avons vu que le TLCD est le dispositif d’amortissement le plus prometteur. Dans ce chapitre nous étudierons une barge portant une éolienne et munie d’un TLCD, système pour lequel nous établissons un modèle dans le plan. Nous aborderons les performances passives du TLCD à la lumière de la littérature classique sur les oscillateurs mécaniques. Nous paramètrerons notre TLCD pour obtenir les meilleures performances passives possibles. Finalement, nous comparerons les performances de différentes stratégies de contrˆole de la restriction du TLCD. Liste des symboles Re repère lié à la terre Rb repère lié à la barge R (ϕ) matrice de rotation de Rb par rapport à Re CdG centre de gravité du système barge, éolienne x e , [0, y, z] > position de Rb par rapport à Re Θ , [ϕ, 0, 0]> orientation de Rb par rapport à Re v b vitesse de Rb par rapport à Re ω b vitesse de rotation de Rb par rapport à Re qs vecteur de positions généralisées du flotteur 34 Analyse planaire d’une barge 

Modèle dynamique 

Le modèle est développé dans un plan vertical prenant en compte seulement trois degrés de liberté : le roulis 1 , l’embardée 2 , et le pilonnement 3 . Souvent dans les études concernant les éoliennes flottantes, la houle arrive le long du vecteur x, nous avons choisi ici que la houle serait selon y pour faciliter la comparaison de notre modélisation avec celles présentées dans les travaux de génie naval. Nous étudions le système dans le plan car il contient déjà deux effets intéressants et complexes. D’une part, les mouvements de pilonnement et de roulis sont couplés et, d’autre part, comme nous l’avons vu pour les applications de génie civil, le mouvement de translation horizontale a un impact non négligeable sur le mouvement du liquide du tube. 4.1.1 Hypothèses de modélisation Pour modéliser dans le plan (y, z) le système éolienne flottante couplé au TLCD, nous nous appuierons sur les hypothèses suivantes. 1. Le système mécanique composé de la barge et de l’éolienne est rigide. En conséquence, 2. le centre de gravité, CdG, du système composé du flotteur et de l’éolienne est fixe dans le repère lié à l’éolienne, 3. le fluide dans le TLCD est incompressible, 4. les largeurs des colonnes du TLCD sont négligeables devant leurs longueurs, 5. le déplacement du fluide est uniforme dans chaque colonne, 6. les surfaces libres du fluide se situent à tout instant dans les colonnes verticales. 

Préliminaires géométriques

 Description et propriétés des repères Dans ce chapitre nous allons utiliser deux repères : le repère lié à la barge sera noté Rb , (CdG, xb, yb, zb) et le repère galiléen lié à la terre sera noté Re , (O, xe, ye, ze). Tout vecteur r ∈ R 3 est noté r b s’il est exprimé dans Rb et noté r e s’il est exprimé dans Re. On note que CdG, l’origine de Rb, est le centre de gravité du système {flotteur, éolienne}. On note aussi que zb et ze pointent vers le bas.L’orientation de Rb par rapport à Re est définie par l’angle de roulis, noté ϕ, et la matrice de rotation autour de xb associée R (ϕ) ,   1 0 0 0 cos (ϕ) −sin (ϕ) 0 sin (ϕ) cos (ϕ)   On a donc x˙ e = R (ϕ) v b avec x e , [0, y, z] > la position de CdG dans Re et v b ,  v b x , v b y , v b z  la vitesse de Rb par rapport à Re, exprimée dans Rb. En notant x = [x1, x2, x3] > ∈ R 3 , la matrice du produit vectoriel S (x),

Description de la géométrie du tube

Le TLCD est constitué de deux tubes verticaux, de section Av et de longueur Lv, connectés entre eux par un tube horizontal de section Ah et de longueur Lh. Le liquide passe d’une colonne verticale à l’autre via le tube horizontal. L’amortissement est créé par une restriction placée au centre du tube horizontal. Puisque nous négligeons la largeur des colonnes devant leurs longueurs, le tube est considéré filiforme. Comme dans Holden et Fossen (2012), la géométrie du tube est décrite par la courbe paramétrique dont les coordonnées sont r b (σ) ,  x b t , yb t (σ), zb t (σ) > avec x b t = 0, et σ abscisse curviligne qui a pour origine le centre du tube horizontal (σ = 0), qui part suivant −yb (σ > 0) et qui suit la ligne du TLCD jusqu’à la surface libre (σ = ςp) et, de l’autre sens, qui part suivant yb (σ < 0) et qui suit la ligne du TLCD jusqu’à la surface libre (σ = −ςs), 

Modèle Hydrodynamique

Hydrodynamique linéaire Le mouvement d’un flotteur soumis à de petites vagues peut être calculé en utilisant la théorie de l’hydrodynamique linéaire (Newman, 1977). Dans cette théorie, trois phénomènes se produisent simultanément de manière indépendante, et leurs effets se superposent (linéarité). Leur description succincte est comme suit. (i) Lorsque le flotteur est légèrement déplacé de sa position d’équilibre, dans une mer immobile, les forces d’Archimède restaurent l’équilibre, ce phénomène est l’hydrostatique. On notera que les lignes d’ancrage restaurent elles aussi l’équilibre. (ii) Quand le corps flottant oscille dans une mer immobile, il crée un champ de vagues, ce phénomène est appelé radiation. (iii) Un flotteur immobile subit les forces de pression d’un champ de vagues incident (modifié par la présence du corps flottant), appelés efforts d’excitation. En résumé, les équations du mouvement de la partie rigide du système, dans la théorie de l’hydrodynamique linéaire sont de la forme Msv˙s = F (t) + Frad (t, vs) + Fhs (qs) + Fanc (qs) (4.1) avec Ms une matrice 3 × 3 dans laquelle la matrice de masse de la barge et celle de l’éolienne, décrites dans (Jonkman, 2007), apparaissent. F est la force d’excitation de la vague décrite dans (Newman, 1977), Frad est la force d’amortissement due aux effets de radiation, Fhs est la force de rappel due à la poussée d’Archimède, et Fanc est la force de rappel des ancrages. Les forces sont des vecteurs 3 × 1 exprimés dans Rb. D’après Newman (1977), en régime monochromatique établi, la force de radiation Frad s’écrit F˜ rad e iωt = ˜vs e iωt (iωAs(ω) − Bs(ω)) (4.2) avec As (ω) la matrice de masse ajoutée et Bs (ω) la matrice de frottement linéaire, dépendant de ω la pulsation de la houle. Les amplitudes F˜ rad et ˜vs sont complexes. Pour la suite de l’étude, les matrices Ms, As (ω) et Bs (ω), ainsi que le lien entre la hauteur de la vague H (t) et la force associée F (t), sont calculées par le logiciel d’analyse hydrodynamique Diodore 4 pour de nombreuses périodes de houle (ici 27) allant de 3 s à 120 s. En notant p = iω, l’équation (4.2) se réécrit dans le domaine de Laplace F˜ rad = −v˜s (pAh(p) + Bh(p)) , −v˜s G(p Dans cette équation, G(p) est une matrice 3 × 3 de fonctions de transfert bipropres 5 d’ordre 5 qui permet de reproduire au mieux les données fournies par Diodore dans le domaine fréquentiel. Les forces de rappel dues aux ancrages Fanc (qs) et à la poussée d’Archimède Fanc (qs) sont modélisées comme une simple matrice de raideur Ks. Les coefficients 6 de Ks sont tirés des données fournies par Diodore (le second et le troisième coefficient). Le premier coefficient de Ks aurait pu être celui donné dans Wayman (2006, p 54), document o`u est décrit le système d’ancrages de la barge MIT. Cependant, le coefficient fourni est mal choisi puisqu’il crée une résonance en embardée à T = 8 s, une période de houle hautement probable. On a donc arbitrairement choisi une raideur d’ancrage faible visant à limiter la dérive de l’éolienne flottante tout en ne provoquant pas de résonance dans les états de mer considérés

Traînée visqueuse de Morison

Les équations de l’hydrodynamique linéaire engendrent de grands déplacements pour la période de résonance, ce qui remet en cause l’hypothèse de linéarité. En effet, quand les oscillations du flotteur sont grandes, un phénomène que nous avons précédemment ignoré amortit le mouvement du flotteur bien plus que les forces de radiation. Cet amortissement supplémentaire est dˆu aux effets visqueux tels que le frottement entre l’eau et la surface de la barge, et la création de vortex. Pour prendre cet effet en compte, nous ajoutons le terme de traînée visqueuse de la théorie de Morison (Jonkman, 2007; Newman, 1977), ce terme dépend de manière quadratique de la vitesse de la plate-forme relativement à l’eau.