Application au problème de transmission intérieur

dans ce mémoire, nous nous sommes intéressés au problème de transmis-sion en électromagnétisme entre un matériau positif (vide, diélectrique,…) et un matériaunégatif (métal, métamatériau,…). Dans les Parties I et II, nous nous sommes concentréssur la version scalaire de ce problème, permettant notamment d’étudier les équations de Maxwell dans une géométrie 3D invariante dans une direction. Dans la Partie III, nous avons travaillé sur le cas vectoriel. Dans cette dernière partie, nous souhaitons examiner un problème a priori assez éloigné de notre centre d’intérêt principal. Nous travaillerons sur le problème de transmission intérieur que l’on rencontre dans la théorie des problèmes inverses de diffraction. En réalité, l’appellation « problème de transmission intérieur » recouvre toute une famille de problèmes spectraux. On les rencontre notamment lorsqu’on cherche à reconstruire le support d’une inclusion noyée dans un milieu de référence à partir de la mesure de champs lointains à fréquence donnée. Décrivons brièvement la problématique. Imaginons que l’on dispose d’un milieu de référence (corps humains, câble, mer,…) comportant un défaut localisé, i.e. à support borné (caillot, fissure, sous-marin,…). En envoyant des ondes dans toutes les directions à fréquence fixée et en mesurant le champ diffracté, nous voulons déterminer la position de l’inclusion et si possible, obtenir des informations concernant les propriétés physiques des matériaux la constituant. Pour mettre en place de telles techniques, il est important de savoir montrer qu’à fréquence fixée, i.e. à nombre d’onde fixé, il n’existe pas d’onde incidente qui ne rayonne pas.

Les premières recherches, pour des raisons techniques ou physiques, ça ne semble pas clair, ont porté sur le cas où l’inclusion est caractérisée par un seul paramètre : A ̸= Id, N = Id ou largement étudiés. Il reste néanmoins de nombreuses questions ouvertes que nous évoquerons au fil de ce chapitre (pour un aperçu récent des techniques utilisées, voir également [38]). En pratique, il est restrictif de modéliser le matériau de l’inclusion par un seul coefficient. C’est pourquoi certains auteurs se sont mis à étudier le problème de transmission intérieur avec A ̸= Id et N ̸= Id [34, 99, 40]. D’un point de vue mathématique, comme nous allons nous en rendre compte dans la suite, la forme sesquilinéaire associée à ce problème présente un changement de signe dans sa partie principale. Par conséquent, l’opérateur associé n’est pas fortement elliptique et son étude n’est pas standard. Mais pour faire face à ce genre de problèmes, nous pouvons utiliser la technique de la T-coercivité. Rappelons que l’idée consiste à tester dans les formulations variationnelles, non pas directement contre le champ, mais contre une transformation simple du champ de façon à retrouver une certaine positivité. Dans ce chapitre, nous allons voir comment développer cette méthode pour étudier le problème de transmission intérieur. Nous renvoyons également le lecteur à [36] pour une application à un problème de transmission intérieur différent de celui traité ici.

Nous travaillons sur le problème scalaire dans la Section 10.1 et sur le problème vectoriel dans la Section 10.2, complétant ainsi les résultats de [34, 40]. Nous prouvons que le problème de transmission intérieur est bien posé au sens de Fredholm et que les valeurs propres de transmission forment au plus un ensemble discret dans des configurations pour lesquelles A − Id et N − Id sont positifs ou négatifs dans un voisinage de la frontière mais peuvent changer de signe à l’intérieur du domaine. C’est là un apport de la technique de la T-coercivité par rapport aux approches existantes dans la littérature. Sous des conditions un peu plus restrictives sur les paramètres A et N , nous fournissons également des estimations pour la première valeur propre. Pour ce problème de transmission intérieur, les deux fonctions mises en jeu « vivent » sur le même domaine. Il n’est donc pas nécessaire d’utiliser les opérateurs de trans- fert géométriques introduits dans le Chapitre 1 pour étudier le problème de transmission entre un matériau positif et un matériau négatif.Dans la suite de cette première section, nous allons chercher à affaiblir les hypothèses portant sur A et n. Dans le Chapitre 1, nous avons prouvé que le problème de transmission entre un matériau positif et un matériau négatif est bien posé au sens de Fredholm lorsque le contraste est plus grand ou plus petit que −1 au voisinage de l’interface. Dans le problème de transmission intérieur, c’est la frontière du domaine qui joue le rôle d’interface. Assez naturellement, nous allons montrer que le problème de transmission intérieur est bien posé au sens de Fredholm lorsque A est plus grand ou plus petit que l’identité, au sens des matrices hermitiennes, dans un voisinage de ∂Ω.