Approche couplée utilisant un modèle simple de flam- bage (Lam3/Tec3-Counhaye)

La limitation de Lam3/Tec3-standard peut être observée à partir d’une simulation d’un cas de laminage d’une tôle mince décrit dans le tableau 1 (annexe 4) et que l’on nomme « cas 1 » : cas de laminage d’une tôle de largeur 855 mm et d’épaisseurs en entrée et en sortie d’emprise respec- tivement de 0.355 et 0.252 mm (forte réduction). Les tractions de laminage appliquées sont de 170 MPa en amont et de 100 MPa en aval. Pour le frottement, on utilise la loi de Coulomb avec un coefficient de frottement de 0.03. Pour ce cas, on observe une surestimation des niveaux de contrainte longitudinale de compression sur les bords (cf. figure 3-1). Il est bien évident que ces niveaux dépassent largement le niveau critique de flambage σc d’une tôle fine. À cette contrainte critique, les bords de la tôle auraient dû flamber et relaxer les contraintes compressives pour les ramener à des niveaux proches de σc. 5] a présenté dans sa thèse des résultats de calcul en bonne corrélation avec les mesures expérimentales, en se servant de son modèle de laminage avec flambage hors emprise (cf. figure 3-2 et 2-11). Cette comparaison montre d’une part que l’absence de flambage conduit à un champ de contrainte faux hors emprise, d’autre part que le traitement appliqué par Counhaye [  66], Abdelkhalek et al. montrent qu’une mauvaise estimation du bombé thermique ou du bombé tôle en entrée d’emprise, ainsi que la non prise en compte de la thermique, modi- fient très faiblement les résultats. Par conséquent, ils mettent en évidence que c’est l’absence de prise en compte du flambage qui est la principale cause de l’écart observé entre calcul et mesure. Dans ce chapitre, on vise donc à modéliser les défauts de planéité en laminage en adoptant une approche couplée (couplage : flambage/emprise), en intégrant dans Lam3/Tec3 le modèle simpli- fié de flambage proposé par Counhaye .

L’algorithme global de la version stationnaire du modèle thermomécanique Lam3/Tec3 est présenté dans la figure 3-3-(a). On rappelle que Lam3/Tec3 utilise un maillage structuré composé d’éléments hexaédriques. Ainsi, les nœuds de ce maillage forment des lignes de courant et sont réactualisés pour y rester. Les points d’intégration dans les éléments successifs en x sont suppo- sés être aussi sur des lignes de courant, suivant lesquelles les variables d’état sont intégrées (cf. § Cette équation (3.4) est résolue itérativement avec le système (3.1-3.3) pour améliorer l’approximation de la forme du domaine sur lequel ce dernier est résolu. Entre deux itérations sont aussi calculées la déformation élastique de la cage si elle est requise (§ 3.1.2), et les tempé- ratures dans la bande et dans le cylindre si le couplage thermique est demandé. L’actualisation du La formulation étant stationnaire, l’intégration en temps est remplacée par la progression en espace (le champ de vitesse réalisant cette équivalence temps – espace). Il n’en reste pas moins que pour résoudre les équations élastoplastiques, équations différentielles en temps, un schéma « temporel » doit être utilisé. Le « pas de temps » représente en fait le temps de parcours d’un point d’intégration à son successeur sur la ligne de courant. Ce pas de temps dépend donc de la position, et dans [ 4], ce schéma est appelé « Eulérien Lagrangien à Delta t Hétérogène » (ELD- TH) – ou en anglais, GLHTS (Generalized Large Heterogeneous Time-Step). Pour des raisons de stabilité, cette intégration sur les lignes de courant peut faire l’objet d’un schéma itératif supplé- mentaire (à chaque itération, on intègre les équations de comportement de chaque point d’intégration à son successeur seulement, figure 3-3-(a)). Dans ce schéma, l’intégration des équations (3.2)-(3.3) se fait par un schéma classique d’Euler vers l’arrière (-méthode avec  =1), et la solution des équations d’équilibre prend en compte ces contraintes réactualisées, selon l’équation « lagrangienne réactualisée » :  3]. La déformation d’un cylindre de la cage est décrite par une combinaison de la théorie des poutres de Timoshenko (comprenant l’effet de ci- saillement transverse) avec le modèle de Boussinesq pour la déformation d’un milieu semi-infini.