Calcul général des corrélateurs et effet du fond parasite

nous avons établi au chapitre 3 que l’ajout d’un champ parasite dû au laser d’excitation est indispensable pour reproduire théoriquement les données expérimentales pour une boîte quantique sous excitation résonnante. Ce fond parasite est inhérent à l’excitation résonnante dans un milieu solide susceptible de contenir des diffuseurs dus à des défauts ou des impuretés. Nous nous en sommes précédemment abstraits pour décrire les mesures de g(τ) en maintenant une puissance d’excitation faible et en ajustant parfois les paramètres du modèle, mais cela n’est pas satisfaisant : certains comportements à haute puissance, avec un fond parasite fort, ne peuvent être prévus par le seul système à deux niveaux.

La prise en compte du fond parasite dans notre modèle théorique et la consécutive confrontation aux mesures est l’objectif de ce chapitre. Il est pour cela nécessaire de calculer des corrélateurs non-usuels comme nous l’avons vu au paragraphe 3.3.4. Une méthode générale pour calculer un corrélateur quelconque du champ émis par un système à deux niveaux est introduite, ce qui nous permet d’estimer g(τ). Nous constatons que les termes additionnels apparus dans les expressions de ces corrélateurs peuvent en effet causer, dans certaines conditions, un comportement de groupement des photons que nous avons observé expérimentalement (cf. figure 3.8). Ce phénomène est attribué à des interférences entre l’émission de photoluminescence et le champ parasite. La description des courbes expérimentales s’en trouve considérablement améliorée, en utilisant les temps caractéristiques .

Méthode générale de calcul d’un corrélateur à l’aide des superopérateurs

Comme nous l’avons vu au paragraphe 3.3.4, l’ajout d’un champ parasite cohérent nous confronte à des corrélateurs que nous n’avons pas encore pu calculer, par exemple un corrélateur à trois champs de la forme. Il est donc très utile de disposer d’une méthode générale permettant de calculer un corrélateur quelconque de manière systématique, ce que nous nous proposons de faire ici en utilisant le formalisme des superopérateurs.Tout d’abord, dans ce formalisme, le superopérateur décrivant les interactions et l’évolution du « vecteur » matrice densité ρ est appelé liouvillien ; il s’agit d’une matrice, notée L. Dans le formalisme des superopérateurs, l’équation de LiouvilleDans le cas d’un système à deux niveaux excité à la résonance par un laser fluctuant, a priori, L dépend du temps. On peut donc se placer dans le référentieltournant du laser et utiliser les équations de Bloch optiques pour construire le liouvillien. Il est assez simple d’établir les équations suivantes à partir de 1.4.21a et 1.4.21b (p. 34) :

Diagonalisation du liouvillien

Connaître le superopérateur d’évolution permet donc de calculer l’état de la matrice densité à n’importe quel temps, connaissant la matrice densité de départ, qui sera la matrice densité en régime stationnaire.) de comptage joint des photons aux instants tDu fait du principe de causalité, il est nécessaire que le premier champ appliquéà l’état initial |ii soit le premier mesuré. Pour s’en assurer sans supposer d’ordreoù ρ est la matrice densité du système à deux niveaux dans l’état stationnaire, supposée décrire l’état du système avant la mesure.L’un des avantages du formalisme des superopérateurs à ce stade est qu’il permet de simplifier ces opérations en appliquant les superopérateurs sous leur forme « ap- pliqué à gauche » ou « appliqué à droite » au vecteur matrice densité. Concrètement, l’exemple .

où Tr désigne la supertrace, qui correspond à la trace usuelle dans l’espace de Hilbert en sommant le premier et le dernier terme du vecteur matrice densité ; les indices a et b distinguent les situations où l’opérateur est appliqué respectivement à gauche ou à droite, tel que :Ainsi, les permutations ne sont plus nécessaires et on change simplement la forme du superopérateur entre sa forme a (appliqué à gauche) et sa forme b (appliqué à droite).seront toujours appliqués à droite, tandis que les champs Dans la suite nous nous intéresserons à des corrélations du champ émis par la boîte quantique. On rappelle que d’après (1.4.27), on a :(τ), exprimées dans le référentiel tournant du laser :Ces valeurs seront calculées en diagonalisant numériquement le liouvillien. Il est également possible d’utiliser un logiciel de calcul formel pour vérifier qu’on obtient les mêmes expressions que celles obtenues par des méthodes classiques utilisant le théorème de régression quantique. La méthode et les expressions obtenues sont toutefois très lourdes .