CALCUL LITTERAL

Propriétés des puissances

a et b étant des nombres non nuls, m et n des entiers relatifs.
o an x bn = (a x b)n
o an x am = an+m
o a0 = 1
o (am) n
o an = a x a x … x a

Développements et réductions

Identités remarquables
• (a +b)2 = a² + 2 ab + b²
• (a – b)2 = a² – 2ab +b²
• (a + b) (a – b) = a² – b²
NB : Dans le développement d’une expression littérale, la multiplication est prioritaire sur l’addition et l’élévation à une puissance est prioritaire sur la multiplication

Exercice d’application
Développe et réduis les expressions
A = (2a -6) (2 + a) – a²
B = (12x – 2)²
Solution
A = (2a – 6) (2 + a) – a²
= 4a + 2a² – 12 – 6a – a²
= a² – 2ª – 12
B = (12x – 2 )² = (12x)² – 2 (12x) (2) + (2)²
= 144x² – 48x +4

Factorisations

Factoriser une expression littérale revient à l’écrire sous forme d’un produit. Nous avons plusieurs cas :
1er cas : mise en évidence d’un facteur commun
Exemple1 : 2x (x-4) + (3+x) (x-4) = (x-4) [2x + (3+x)]
= (x-4) (2x + 3 +x)
= (x-4) (3x + 3)
= 3 (x-4) (x+1)
Exemple 2 : (2x – 5) (x-3) + (3-x) (x+1)
(2x-5) (x-3) + (3-x) (x+1) = (2x-5) (x-3) – (x-3) (x+1)
= (x-3) [(2x-5) – (x+1)]
= (x-3) (2x – 5 –x – 1)
= (x-3) (x-6)
Exemple 3 : 2x (x-1) + 2x-2 = 2x (x-1) + 2 (x-1)
= (x-1) (2x+2)
= 2 (x-1) (x+1)

2e cas : utilisation des identités remarquables
Exemple 1 : 9x² + 24x + 16 = (3x)² + 2 (3x) (4) + 4²
En posant a = 3x et b = 4, nous avons a² + 2ab + b² = (a+b)²
Ainsi 9x² +24x +16 = (3x + 4)²
Exemple 2 :16 – 4x² = 4² – (2x)²
En posant a = 4 et b = 2x, nous avons a² – b² = (a+b) (a-b)
Ainsi, 16 – 4x² = (4 + 2x) (4 – 2x)
Exemple 3 : 9 a² – 12a + 4 = (3a)² – 2 (3a) (2) + (2)²
= (3ª – 2)²