Cours mathématiques les polynômes et fractions rationnelles

Sommaire: Cours mathématiques les polynômes et fractions rationnelles

I : Présentation des polynômes
1) Définition
2) Lois sur K[X]
3) Division euclidienne
II : Zéros d’un polynôme
1) Définition
2) Polynôme dérivé
3) Ordre de multiplicité d’une racine
4) Polynôme scindé, relations coefficients–racines
5) Théorème de d’Alembert
6) Fractions rationnelles
a) Définition
b) Partie entière
c) Partie polaire
d) Décomposition d’une fraction rationnelle
Annexe : Nombres algébriques, nombres transcendants, quadrature du cercle

Extrait du cours mathématiques les polynômes et fractions rationnelles

I : Présentation des polynômes
1– Définition
D’ailleurs, on peut fort bien faire jouer à X d’autres rôles que des valeurs dans . X peut aussi être remplacé par exemple par une matrice, ou un endomorphisme d’un espace vectoriel sur .
On a bien évidemment l’implication :
Mais la réciproque est loin d’être évidente. Nous allons montrer que, lorsque  est égal à ou , il y a équivalence, ce qui permet de confondre polynôme et fonction polynomiale. La phrase P = 0 gardera cependant de préférence le sens (*).
PROPOSITION
i) Soit P un polynôme à coefficients dans ou . Alors, si la fonction polynomiale associée à P est identiquement nulle, P a tous ses coefficients nuls.
ii) Soient P et Q deux polynômes dans ou . Alors, si les fonctions polynomiales associées sont égales (prennent les mêmes valeurs), les deux polynômes sont égaux (ont leurs coefficients égaux).
2– Lois sur K [X]
On peut définir sur [X]
a) Une somme:
On  vérifie  facilement  que  ( K [X],+)  est  un  groupe  commutatif.  Le  neutre  est  le  polynôme  nul,  et deg(P+Q) ≤Max(deg(P),deg(Q)) avec égalité si les polynômes sont de degrés différents, ou s’ils sont de même degré et que les termes de plus haut degré ne s’éliminent pas.
On vérifie facilement que ( [X],+,×) est un anneau commutatif (l’élément neutre pour le produit est le polynôme 1). Les éléments inversibles sont les polynômes constants non nuls. Si PQ = 0 alors P = 0 ou Q = 0. On dit que l’anneau est intègre.
c) Produit par un scalaire (produit externe):
Démonstration:
En raisonnant sur les termes de plus haut degré d’une combinaison linéaire nulle, il n’est pas difficile de montrer que la famille (P0, P1, …, Pn) est libre. Comme elle comporte n+1 éléments et que « n[X] est de dimension n+1, il s’agit d’une base de #n[X].
Soit (P0, …, Pn) telle que le coefficient non nul de plus bas degré de Pi soit de degré i et degPi ≤ n.
Alors cette famille forme une base de $n[X].
Comportant n+1 éléments, et n+1 étant la dimension de %n[X], il suffit de montrer que la famille est libre, ce qui se fait en raisonnant sur les termes de plus bas degré d’une combinaison linéaire nulle.
d) L’algorithme de Hörner:
Début de partie réservée aux MPSI
A l’issue de la boucle, on a bien le résultat cherché. L’intérêt de l’algorithme de Hörner réside en fait dans sa rapidité. Le calcul de produit est très coûteux en machine (et encore plus s’il s’agit de matrices et non de réels), et l’algorithme de Hörner n’utilise que n produits, alors que la méthode usuelle en utilise .

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