Choix d’un focus sur la théorie des graphes

Nous avons fait le choix de centrer notre étude sur la théorie des graphes pour plusieurs raisons : La théorie des graphes occupe une place notable dans la recherche et dans l’enseignement. Le champ des mathématiques discrètes possède une grande importance dans la recherche, non seulement en tant que champ mathématique à part entière au niveau axiomatique et théorique, mais aussi en tant que champ possédant des liens avec d’autres domaines mathématiques. La théorie des graphes est un domaine très récent en mathématiques. Elle permet l’enseignement de mathématiques vivantes, pour lesquelles des questions ouvertes compréhensibles existent. Les obstacles notionnels y sont souvent moins importants que dans d’autres branches des mathématiques. Cette discipline possède de riches applications concrètes, dont on peut voir les résultats à l’œuvre dans la vie courante, que ce soit le routage dans les réseaux de télécommunication, la régulation du trafic aérien, l’allocation de fréquences, la gestion des files d’attente pour les distributeurs automatiques ou le calcul d’itinéraires routiers (Cartier, 2008; Epp, 2011; Rosen, 2012). graphes ou, du moins, des problèmes que l’on peut modéliser et résoudre à l’aide de graphes. Cet aspect ludique conduit à transformer l’enseignement des graphes ou des mathématiques discrètes en une compilation d’énigmes et de casse-tête auxquelles on ne cherche qu’une réponse locale (Cartier, 2008).

L’enseignement d’éléments de la théorie des graphes est aussi considéré comme une façon d’introduire les élèves aux notions d’algorithmique. De fait, la plupart des nombreuses applications pratiques des graphes sont algorithmiques. Les algorithmes développés par les mathématiciens discrets se prêtent bien à l’implémentation informatique, dans la mesure où le graphe est un objet discret aisément représentable de façon matricielle ou par des listes chaînées par exemple (Cartier, 2008). Enfin, l’enseignement de la théorie des graphes existe dans l’enseignement supérieur, lieu de notre investigation. Notre méthodologie de travail pour traiter la première question de recherche (« comment caractériser au niveau épistémologique les mathématiques discrètes ? ») est une méthodologie contemporaine qui prend appui sur des entretiens avec les mathématiciens. Notre revue de littérature en didactique nous a permis de lister plusieurs affirmations (non-démontrées) sur les caractéristiques des mathématiques discrètes. Notre objectif est de réinterroger cette littérature, d’évaluer la cohérence avec les pratiques des chercheurs en mathématiques discrètes et d’identifier d’autres composantes épistémologiques. Ces entretiens nous aideront à questionner les affirmations de la littérature, et à observer, au niveau de l’épistémologie des chercheurs, les convergences ou les divergences critiques. Les réponses à ce questionnaire nous permettront de mieux connaître la nature de cette discipline aujourd’hui. Ces réponses sont-elles en cohérence ou en contradiction avec l’état de l’art ? Permettent-elles de lever des implicites ? Nous avons tout d’abord fait le choix d’interroger des chercheurs et enseignants-chercheurs en mathématiques discrètes (plusieurs sous-domaines). Comme nous avons précisé notre objet d’étude autour la théorie des graphes, nous avons interrogé des enseignants-chercheurs engagés dans ce domaine de recherche.

 Construction de la grille d’entretien

L’objectif du travail présenté dans cette partie est de tenter d’apporter des éléments de réponses à notre question de recherche Q1. Pour mener concrètement cette enquête, nous avons suivi le plan suivant : dans un premier temps, nous avons construit un questionnaire à destination des enseignants chercheurs en France et au Liban autour de domaine des mathématiques discrètes en général, et de la théorie des graphes en particulier. Ce questionnaire était piloté avec deux enseignants-chercheurs implantés dans les deux pays, afin de tester notre grille et de compléter notre vision quant à certains aspects du questionnaire. Tous les entretiens ont été enregistrés et transcrits. Dans la deuxième partie, nous présentons le questionnaire que nous avons élaboré. Dans la troisième partie, nous définissons nos critères d’analyses en fonction des résultats de notre état de l’art et des apports théoriques. Dans la quatrième partie, nous procédons à l’extraction et à l’analyse des réponses obtenues, et nous présentons notre dernière partie de synthèse. Nous présentons ici en détail notre questionnaire, dont le titre est « les mathématiques discrètes dans le supérieur, enseignement et recherche » (consultable en intégralité en Annexe C). Nous avons conduit les entretiens en personne avec la plupart des personnes interviewées, et en vidéo-conférence dans les cas où la rencontre n’était pas possible. Le choix des enseignants- chercheurs était orienté, puisque nous avons repéré certains spécialistes du domaine au Liban et en France.