Comparaison formelle des modèles de migration

Le but de ce chapitre est de comparer le modèle darcéen avec le modèle d’invasion percolation et d’arriver à la conclusion suivante : Sous quelques hypothèses raisonnables (par exemple : l’eau est mobile dans tout le bassin), le modèle d’invasion percolation consiste formellement à trouver la limite en temps infini de la solution du modèle de Darcy lorsque la cinétique de craquage des hydrocarbures se fait infiniment lentement, à quantité totale fixée. Dans un premier temps, on simplifie le modèle de Darcy en se plaçant dans un bassin dont la géométrie est fixe au cours du temps, puis on considère sa limite en temps infini. Ensuite on étudie le modèle d’invasion, puis on fait la comparaison des deux modèles. Dans un deuxième temps, on essaye d’étendre la conclusion de cette comparaison dans un bassin en mouvement. 7.1 Modèle de Darcy Dans ce premier paragraphe, on précise le contexte dans lequel on se place pour faire cette comparaison formelle. Pour cela, on rappelle quelles sont les équations du modèle darcéen, présentées dans le chapitre 4. Toutefois, comme on considère un bassin à géométrie fixe, on ne tient pas compte ici de l’équation de l’équilibre mécanique et de la compaction.

Hypothèse de génération des hydrocarbures 

L’hypothèse de conservativité précédente ne suffit pas pour assurer l’unicité de la solution du problème ( 2 ). En effet, pour un terme source d’huile donné, la distribution finale des hydrocarbures dans le bassin dépendra également de la vitesse de génération de ces hydrocarbures. Un exemple numérique présenté cidessous illustre la différence de résultats obtenus suivant le régime utilisé. Le cas synthétique présenté est une section géologique composée de deux pièges structuraux. La figure 7.3 décrit ces pièges symétriques situés sous une roche couverture. Les hydrocarbures sont expulsés depuis une roche-mère représentée par une unique maille localisée légèrement à gauche de l’axe de symétrie des deux pièges. Nous nous sommes focalisés sur les zones de migration, plus précisément sur la présence d’hydrocarbures dans le piège de droite suivant la vitesse de génération des hydrocarbures.Pour le calcul des pressions capillaires, nous avons utilisé la loi suivante : lim Pc(ϕ) = Pc . Les perméabilités sont calculées à l’aide d’une loi de Kozeny-Carman. La pression capillaire de la rochemère n’est pas réaliste, mais l’objectif de ce cas synthétique n’était pas de se concentrer sur la migration primaire. La densité de l’eau ρ w est égale à 1030 kg.m-3 et la densité de l’huile ρ o est égale à 140 kg.m-3 . Pour toutes les lithologies la saturation irréductible en eau, satir, est égale à 0.8 et la saturation d’expulsion, satex, est égale à 0.2. Afin de calculer la viscosité de l’huile, nous avons utilisé la formule d’Andrade avec les paramètres suivants : 5 0 45.1 10 − µ = × Pa.s et 15. 1533 Ak0 = K. De plus, la roche-mère contient un kérogène de type II (cf. annexe C). Nous avons utilisé un gradient thermique de 0.05°C/m et à la fin de chaque simulation nous faisons en sorte d’atteindre un taux de transformation égal à 1 afin de toujours avoir la même quantité d’hydrocarbures générés. Pour le craquage, le coefficient préexponentiel Ai pour chaque vitesse de réaction i (cf. annexe C) est égal à 14 64.1 ×10 s -1 pour le régime rapide, à 9 64.1 ×10 s -1 pour le régime moyen et à 7 64.9 ×10 s -1 pour le régime lent.En utilisant une vitesse de génération standard en modélisation de bassin (cas du régime rapide), les hydrocarbures migrent vers les deux pièges et une accumulation se forme dans chacun d’entre eux (Figure 7.4). Au contraire, avec une vitesse beaucoup plus lente, les hydrocarbures ne vont que d’un côté (celui où se situe la roche-mère), le piège de gauche est ainsi rempli et il reste suffisamment d’hydrocarbures pour remplir un autre piège localisé au-dessus de celui-ci. Le tableau 7.2 donne plus précisément la répartition de la masse d’hydrocarbures accumulés suivant les pièges pour chacune des simulations réalisées. On se place donc, dans la suite, dans le cas où la vitesse de génération des hydrocarbures est infiniment lente pendant un temps infini. Cette hypothèse est détaillée dans le paragraphe 7.4.

Comparaison entre le modèle de Darcy et le modèle d’invasion percolation 

Un calcul formel laisse penser que la solution du modèle d’invasion percolation quand le pas de discrétisation spatiale tend vers 0 est aussi une solution du problème ( 2 ). Comme cette dernière n’est pas unique, nous allons dans le paragraphe suivant essayer au moins de comparer la limite quand t tend vers l’infini de la solution du problème de Darcy avec la solution du problème du modèle d’invasion percolation. Remarque. On peut introduire la notion de temps dans le modèle d’invasion percolation sous l’aspect d’un temps lié à la quantité d’hydrocarbures générés. Cependant, contrairement au modèle darcéen, la solution donnée par l’invasion percolation ne dépend pas du temps réel pendant lequel les hydrocarbures sont générés.

Comparaison des solutions données par chacun des modèles

 La solution limite du modèle de Darcy pour t tendant vers l’infini vérifie ( 2 ). De même, la solution obtenue par le modèle d’invasion percolation lorsque le pas de discrétisation h tend vers zéro vérifie formellement ( 2 ). En général, il ne s’agit pas de la même solution. En effet, les résultats de nos tests numériques montrent que les deux modèles peuvent donner des solutions relativement différentes (Figure 7.5). Toutefois, quand on diminue la vitesse de craquage des hydrocarbures sur ces tests numériques, i.e. que l’on a un flux infinitésimal pendant un temps infini, la limite en temps long de Darcy semble converger vers la solution obtenue par l’invasion percolation. On peut illustrer cette proposition en reprenant le cas test synthétique présenté dans le paragraphe 7.3.3.2. On se place dans les mêmes conditions que précédemment et on compare la solution préalablement obtenue avec le modèle de Darcy et celle obtenue avec le modèle d’invasion percolation dans le cas d’un régime rapide et d’un régime lent.On observe sur ce cas test qu’avec l’invasion percolation, les hydrocarbures ne vont que dans le piège de gauche. On rappelle qu’à la fin des simulations, le taux de transformation de la roche-mère est égal à 1. Aussi, avec le modèle d’invasion percolation, on obtient le même résultat avec un régime rapide ou un régime lent lorsqu’on attend que la roche-mère soit complètement mature. On observe également que les saturations d’hydrocarbures au temps final obtenues avec l’invasion percolation sont très proches de celles obtenues avec le modèle darcéen dans le cas d’un régime lent. Assertion [A] : L’invasion percolation nous semble donc consister à trouver la limite en temps infini de la solution du modèle de Darcy lorsque la génération des hydrocarbures se fait infiniment lentement. Remarque sur la mobilité de l’eau. Le modèle d’invasion percolation suppose que l’eau est mobile partout dans le domaine Ω . Cette hypothèse dans le modèle de Darcy entraîne que ( ,0[ [; ( )) 2 1 Pw ∈ Lloc +∞ H Ω . Ceci permet d’assurer la régularité de la pression de l’eau. Toutefois, cette hypothèse dans le modèle de Darcy n’est pas toujours vérifiée. D’autre part, nous avons supposé ( ,0[ [; ( )) 2 1 Sw ∈ Lloc +∞ H Ω , cette hypothèse est également forte et empêche la prise en compte de fonctions de pression capillaire différentes selon les parties du domaine. Remarque sur les conditions aux limites. La solution de Darcy et celle du modèle d’invasion percolation dépendent de la quantité d’hydrocarbures générés; c’est pourquoi il est plus facile de comparer les deux solutions lorsque les hydrocarbures ne peuvent pas s’échapper du bassin. Comme cela n’est pas toujours le cas, nous nous sommes placés dans un cadre plus général, concernant les conditions aux limites, où l’huile peut sortir du bassin avec les modèles de Darcy et d’invasion percolation. Ce sont les barrières capillaires qui empêchent l’huile de sortir complètement. 

Conclusion

L’assertion [A] permet de formaliser les hypothèses sous lesquelles on peut s’attendre à ce que les modèles de Darcy et d’invasion percolation fournissent des solutions équivalentes. D’un point de vue pratique, les conditions que l’on retiendra sont les suivantes :  Les événements géologiques simulés ont lieu sur des temps caractéristiques importants relativement aux vitesses de déplacement des hydrocarbures à l’échelle du bassin.  L’expulsion des hydrocarbures depuis la roche-mère est très largement étalée en temps et peut être considérée comme un mécanisme infiniment lent. Ces hypothèses sont souvent vérifiées en simulation de bassin ce qui justifie a posteriori que les deux modèles puissent être utilisés dans des configurations similaires. Cependant, elles peuvent également être remises en cause dans des situations où le résultat n’est plus uniquement contrôlé par le système roche-mère/drain/barrière capillaire. Parmi ces situations, on peut citer les cas suivants :  un événement géométrique se produit, modifiant les propriétés des couvertures ou de la structure des pièges.  le cheminement du fluide est entravé par des barrières de perméabilités fortes contrôlant à elles seules le remplissage de pièges.