Conception d’un cristal phononique bidimensionnel pour les ondes de surface

Méthode de décomposition en ondes planes

Nous avons mentionné dans le chapitre précédent que la méthode des diérences nies avait été introduite à la fois pour pallier les limitations liées à la méthode de décomposition en ondes planes, sur lesquelles nous reviendrons par la suite, mais également pour obtenir des informations supplémentaires, en termes de spectre de transmission notamment, sur la propagation d’ondes dans les cristaux phononiques. Elle n’introduit en revanche guère d’amélioration au niveau de la précision de calcul, la discrétisation du pas introduisant un nouveau facteur limitant. Par ailleurs, la formulation même du modèle rend dicile toute application de conditions aux limites à la surface, indispensables ici. Nous sommes ainsi revenus sur la méthode PWE qui, par sa formulation plus versatile, permet l’intégration de nouvelles conditions relatives à la propagation comme au substrat. Une méthode de décomposition en ondes planes étendue a ainsi été développée, permettant la modélisation de cristaux phononiques pour les ondes de surface dans un matériau piézoélectrique. 

Principes fondamentaux

 La méthode PWE s’est imposée comme l’un des outils de modélisation privilégié des cristaux photoniques  et gure par ailleurs parmi les premiers formalismes à avoir été employés an de mettre théoriquement en évidence l’existence de bandes interdites pour les ondes élastiques . Elle permet de représenter de façon assez directe, du point de vue du formalisme mathématique comme de la mise en ÷uvre numérique, la propagation de champs (électromagnétiques ou de déplacement, en l’occurence) dans un milieu périodique. Elle est d’ailleurs bien connue en acoustique où elle est employée pour simuler des structures périodiques de type transducteurs composites qui trouvent leurs applications dans le domaine de l’imagerie médicale par exemple [105, 106]. Le principe de base de la méthode de décomposition en ondes planes consiste à décomposer en séries de Fourier les champs propagatifs dans le domaine fréquentiel, c’est-à-dire dans le référentiel déni par le réseau réciproque du cristal (voir annexe A). Kushwaha et al. [35] ont en particulier appliqué cette méthode au cas d’un réseau bidimensionnel, en limitant toutefois dans un premier temps leur analyse à des milieux isotropes et à des champs de déplacement purement transverses. Dans cette conguration, les polarisations dans le plan et hors plan du champ de déplacement peuvent être découplées.

Prise en compte de la piézoélectricité : formulation de Fahmy-Adler

La formulation de Fahmy-Adler introduite au chapitre 1 nous a permis d’écrire l’équation de propagation des ondes planes dans un solide piézoélectrique en exprimant les tenseurs de contraintes et de déplacement généralisés en fonction des composantes des tenseurs élastiques, piézoélectriques et diélectriques du matériau. Cette section revient très brièvement sur les concepts de base de cette formulation avant de donner quelques pistes quant à son application au développement en ondes planes. Cette extension de la méthode PWE est issue des travaux de thèse de Mikaël Wilm et a fait l’objet de diverses publications . On cherche dans ce cadre à résoudre le problème de propagation des ondes élastiques en considérant comme inconnues les composantes normales des champs électro-acoustiques. On introduit donc pour cela le vecteur d’état h = (u τ2) T où u et τ2 ont été dénis à la section 1.3.1 comme étant respectivement le champ de déplacement généralisé et le tenseur de contraintes généralisé à un coecient jω près. Les composantes normales des champs étant continues au passage d’une interface, ce vecteur d’état est solution du problème aux valeurs propres suivant : s2h = Mh.

Cas d’inclusions vides dans une matrice solide

 La méthode de calcul décrite dans les paragraphes précédents n’est applicable en l’état qu’à des systèmes de type inclusions solides dans une matrice solide. La prise en compte d’inclusions « vides » nécessite une adaptation de la notion de constantes matériau. On cherche en quelque sorte à dénir un solide ctif présentant une série de propriétés reproduisant les conditions de propagation d’une onde élastique dans le vide parfait [63]. Une première étape consiste à annuler les constantes piézoélectriques dans la matrice représentative des constantes matériau de l’inclusion. On impose ensuite la valeur de la permittivité électrique du vide aux composantes diagonales du tenseur des constantes diélectriques, i.e. ǫii = ǫ0. Par ailleurs, l’absence de contraintes dans le vide impose l’adoption d’un tenseur élastique ctif cijkl nul pour satisfaire à l’équation constitutive (3.1) quel que soit le champ de déplacement. De ce fait, la densité ρ du matériau doit elle-même être ramenée à zéro pour satisfaire à la relation fondamentale de la dynamique : ρ ∂ 2 uj ∂t2 = ∂Tij ∂xi Cette solution doit néanmoins rester compatible avec les conditions aux limites imposées intrinsèquement par une surface libre, conditions qui découlent elles-mêmes de la relation de continuité des composantes des champs de déplacement et des composantes transverses des contraintes. Or une condition de surface libre impose une annulation des contraintes, ce qui est compatible avec les hypothèses de tenseur élastique et de densité nuls précédemment introduites. 

Prise en compte des conditions de surface 

La dernière étape de l’adaptation de cette méthode de décomposition en ondes planes à la simulation des cristaux phononiques étudiés a été de prendre en compte les conditions aux limites à la surface du substrat supportant la propagation. Les modèles précédemment présentés considèrent pour la plupart un réseau phononique inni, ne rendant ainsi nullement compte des conditions aux limites observées à la surface d’une structure réelle. La propagation d’ondes à la surface d’une structure bidimensionnelle semi-innie a en revanche été théoriquement étudiée puis observée par Torres et al. lors d’une expérience mettant en jeu des inclusions cylindriques de mercure de dimension millimétrique dans une matrice 73 Conception d’un cristal phononique bidimensionnel pour les ondes de surface d’aluminium. Toujours d’un point de vue théorique, les travaux de Tanaka et Tamura [57, 58] puis de Wu et al. [111] ont montré la possibilité de calculer les courbes de dispersion pour les modes de surface, aussi bien pour les modes de type Rayleigh que pour les ondes de surface à pertes (pseudo-ondes de surface, sur lesquelles nous reviendrons dans la suite de ce document), pour des systèmes élastiques anisotropes de composition solide-solide. La prise en compte simultanée des conditions de surface, de la piézoélectricité et du cas de compositions solide-vide a été assurée par Vincent Laude , sur la base du code de calcul développé par Mikaël Wilm.