Construction des utilités progressives de portefeuille optimal donné

Caractérisation des utilités progressives ayant le même portefeuille optimal

Définition des utilités équivalentes

Pour simplifier, nous nous plaçons dans un marché martingale, dans lequel le numéraire de marché est pris comme numéraire de référence. Comme nous l’avons vu au Chapitre 6, cela implique en particulier qu’il n’y a pas de taux d’intérêt, ni de prime de risque c-à-d. r = 0, et η = 0, et que les richesses admissibles sont des martingales locales. Utiliser un marché martingale n’est qu’un choix de représentation ; une fois établis les résultats recherchés dans cet univers d’investissement, nous pouvons toujours retraduire les résultats dans n’importe quel marché par la technique du changement de numéraire, que nous avons exposée dans le chapitre 6 ; l’équivalence entre les utilités progressives dans les différents marchés donnée par le théorème 6.1 est évidemment un résultat clé pour le faire. Définition 8.1. Dans un marché martingale donné, deux utilités progressives u et v sont équivalentes si les portefeuilles optimaux correspondants, Xx,u . et Xx,v . , sont indistinguables, pour toute richesse initiale x > 0. La classe d’équivalence associée à un processus de richesse optimal X∗ . (x) est désignée par U(X∗ ). 

Synthèse des conditions d’optimalité 

Nous rappelons dans ce paragraphe quelques résultats et notations, établis dans les chapitres précédents, qui joueront un rôle important dans la suite. Étant donnée une utilité progressive u, les conditions d’optimalité dans un marché « martingale » impliquent que la dérivée de l’utilité étudiée tout au long du portefeuille optimal, c-à-d. (u ′ (t,Xx,u t )), est une martingale locale positive que nous désignons par (Yu(t,x))t≥0,x>0. Nous avons montré dans le théorème 7.6 paragraphe 7.6 du chapitre précédent, que la martingale normalisée Yu(t,x)/Yu(0, x) est la mesure martingale optimale du problème d’optimisation dual. La notation Y sert à évoquer que ce processus joue le rôle d’une mesure martingale équivalente et non pas d’une richesse. Nous rappelons les conditions que doivent satisfaire nécessairement les processus optimaux Xx,u et Yu(t,x) comme nous les avons établies au théorème 7.1 du paragraphe 7.3. Pour cela, nous commençons par définir un ensemble de propriétés auquel nous nous référerons souvent dans la suite ; sauf mention contraire, nous supposons que le marché de référence est « martingale », contraint par le cône convexe K. Définition 8.2. Une famille de couples de semimartingales continues, indexées par un paramètre (de richesse) x > 0, {(Xx t ,Y(t,x));t ≥ 0, x > 0} est dite satisfaire les conditions (O∗ ) dans le marché martingale contraint par K, si : (O1) Pour tout x>0, le processus (Xx t ;t ≥ 0) est un portefeuille admissible, et donc une martingale locale. (O2) Pour tout x>0, le processus (Y(t,x);t ≥ 0) est une martingale locale. (O3) Le processus  O4) Pour toute stratégie admissible π et pour tout capital initial x ′ , le processus (X x ′ ,π t ;t ≥ 0) est une martingale locale positive, et pour tout (x, x′ ) > 0, les processus (X x ′ ,π t Y(t,x));t ≥ 0) sont des surmartingales positives (des martingales locales si l’espace des contraintes K est un espace vectoriel) Nous notons Z l’ensemble des couples (X,Y) vérifiant les conditions (O∗ ). Dans l’étude des utilités progressives faite dans les chapitres précédents, nous avons établi le lien entre ces processus et la fonction d’utilité : Proposition 8.1. Soit Xx,u le processus optimal d’une utilité progressive u dans un marché martingale contraint par K. La dérivée de l’utilité progressive u le long de la trajectoire optimale est un processus Yu(t,x) défini par (u ′ (t,Xx,u t ))t≥0,x>0 def = (Yu(t,x))t≥0,x>0. Le couple {(X x,u t ,Yu(t,x));t ≥ 0, x > 0} vérifie les conditions (O∗ ) ( définition 8.2), qui sont donc des conditions nécessaires d’optimalité. Par suite, un processus de richesse admissible Xx ne peut être le portefeuille optimal d’une utilité progressive que s’il existe un processus Y(t,x) tel que le couple (Xx,∗ ,Y(., x)) vérifie les propriétés (O∗ ). Remarque Pour l’étude détaillée des deux familles de processus, voir l’étude du chapitre 5.

Approche par les flots stochastiques 

Puisque nous connaissons plusieurs propriétés de la dérivée d’une utilité progressive le long de la trajectoire optimale (c-à-d. (u ′ (t,Xx,u t ))) données dans la proposition 8.1, la question est la suivante : Pouvons nous obtenir plus d’information sur la dérivée en elle-même u ′ (t,x) à partir de ces propriétés ? Bien que ceci puisse paraître un peu trop demander, car nous cherchons à caractériser la dérivée d’une utilité stochastique à partir de son comportement sur une trajectoire très particulière, la réponse à cette question est positive et simple, si le processus de richesse optimal est strictement croissant par rapport à sa condition initiale x. 

Richesse optimale monotone

Cette hypothèse de monotonie de la richesse optimale est très naturelle car dans les résultats que nous avons établis dans les exemples 4.3.1 et 4.3.2, la richesse optimale est strictement monotone et même deux fois différentiable par rapport au capital initial x, sous certaines hypothèses additionnelles. Ceci est encore vrai dans le cadre des utilités progressives décroissantes dans le temps, c’està-dire le cas d’une volatilité nulle dans un marché non martingale, étudiées dans le paragraphe 7.7 du chapitre précédent (voir l’ équation (7.47) et la remarque 7.8). Nous pouvons aussi retrouver ces propriétés de la richesse optimale dans le cadre classique d’optimisation de portefeuille, utilités puissance, logarithmiques et exponentielles et dans la multitude d’exemples proposés par Huyên Pham dans [94] et par Ioannis Karatzas et Steven Shreve dans [55]. Pour conclure, remarquons que dans un univers sans arbitrage financièrement la richesse optimale ne peut être que croissante par rapport à la richesse initiale, car sinon en investissant moins d’argent on pourrait obtenir le même gain. Mathématiquement, des problèmes techniques peuvent apparaître, ce qui conduit à poser cette propriété comme une hypothèse.