Cours forme locale du principe de la conservation de la masse, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Conservation de la masse

Concept de masse en mécanique des milieux continus

La masse est une mesure de la quantité de matière.
Par principe, la masse d’un domaine est une grandeur scalaire (un tenseur d’ordre 0), extensive (la masse d’un domaine est la somme des masses d’une de ses partitions) et objective (sa valeur est la même pour tous les observateurs).
Dans le cadre d’un modèle continu de la matière se trouvant dans un domaine, l’extensivité permet d’af-firmer l’existence dans ce domaine d’un champ de densité volumique de masse appelémasse volumique actuelle, traditionnellement notéer ¹.
–  La masse d’un domaine matérielD^m, de position de référenceD₀^m et de position actuelle D_t^m peut s’écrire avec une description de Lagrange ou une description d’Euler des masses volumiques (voir (1.1) page 3, avec A = m et A^v = r scalaires).

Principe de la conservation de la masse

Une des manières d’exprimer le principe de la conservation de la masse est le suivant ²:
PRINCIPE :  La masse de tout domaine matériel est invariante dans le temps.
Si le champ des masses volumiques du domaine matériel est décrit par la méthode d’Euler, le principe de la conservation de la masse pour un domaine matérielD^m s’écrit..

Forme locale du principe de la conservation de la masse

Le principe de la conservation de la masse est vrai quel que soit le domaine matériel considéré. En vertu du lemme fondamental rappelé en (1.12) page 7, on peut en déduire des expressions locales du principe de la conservation de la masse :
Cette équation différentielle est l’écriture locale de laonservationc de la masse. Elle est souvent appelée équation de continuité.
Le taux de dilatation volumique (concept cinématique) est l’opposé du taux de variation (dérivée temporelle logarithmique) de la masse volumique.
Le principe de la conservation de la masse implique l’égalité entre la dilatation volumique actuelle K_v (concept cinématique) et le rapport des masses volumiques initiale et actuelle.
Dans une déformation entre les instantst₀  et t, la masse volumique n’est donc pas constante en général.
Elle ne l’est que dans une déformation isovolume⁵ (K_v = 1).

 Bilan de masse pour un domaine géométrique

Dans un domaine géométriqueD^g, la masse du milieu continu contenu dans le domaine ne se conserve pas au cours du temps.
La dérivée temporelle de la masse contenue dans un domaine géométrique est égale au débit massique entrant à travers la frontière.
REMARQUE : L’énoncé ci-dessus peut aussi bien être pris comme principe de la nservationco de la masse, et on peut en déduire la forme locale et la forme globale pour un domaine matériel comme étant des théorèmes.

Densités massiques

La distribution dans un domaine D (géométrique ou matériel) d’une grandeur physique extensive A peut aussi se décrire par des densités massiquesA^m (unité : [A].kg⁻¹) plutôt que par des densités volumiques A^v (unité : [A].m⁻³). On a évidemment :A^v = rA^m.

En bref…

La masse d’un domaine matériel est une grandeur scalaire, extensive, objective et invariante dans le temps, qui mesure la quantité de matière contenue dans le domaine matériel.
L’expression locale du principe de la conservation de la masse pour un milieu continu est une équation différentielle appelée équation de continuité.
La masse d’un domaine géométrique est variable dans le tempscar de la matière traverse les frontières.
On peut calculer la dérivée temporelle d’une grandeur extensive A sur un domaine matériel ou géométrique avec des intégrales de volume de densités volumiquesA^v ou bien avec des intégrales de masse de densités massiques A^m.