Quelques aspects fondamentaux de l’analyse fractionnaire

La théorie de dérivation fractionnaire est un sujet presque aussi ancien que le calcul classique tel que nous le connaissons aujourd.hui. Ses origines remontent à la .n du 17i_eme siècle, l.époque où Newton et Leibniz ont développé les fondements du calcul di¤érentiel et intégrale [25]. Leibniz a présenté le symbole dnf dtn pour désigner la ni_eme dérivée d.une fonction f. Quand il a annoncé dans une lettre à l.Hopital, l.Hopital a répondu : que signi.e dnf dtn si n = 1 2 ? Cette lettre de l.Hopital, écrite en 1695, est aujourd.hui admise comme le premier incident de ce que nous appelons la dérivation fractionnaire [20]. Plusieurs mathématiciens ont contribué à l.élaboration de la théorie de la dérivation fractionnaire tels que [7] : P. S. Laplace(1812), J. Fourier(1822), J. Liouville(1832), B. Riemann (1847), A. Grunwald(1867 􀀀 1872), J. Hadamard(1892), S. Pincherle(1902), H. weyl(1917), P. Lévy(1923), A. Marchaud(1927) et M. Riesz(1949).

Cependant, cette théorie peut être considérée comme un sujet nouveau aussi, depuis seulement un peu plus de trente ans, elle a fait l.objet de plusieures conférences spécialisées. Pour la première conférence, le mérite est attribué à B. Ross qui a organisé la première conférence sur les calculs fractionnaires et ses applications à l.université de New Haven en juin 1974, et il a édité les débats. Pour la première monographie le mérite est attribué à K.B. Oldham et J. Spanier, qui ont publié un livre consacré au calcul fractionnaire en 1974 après une collaboration commune, commencée en 1968 [1]. Di¤érentes dé.nitions de la dérivation fractionnaire ont été établies. Ces dé.nitions, même ne menant pas toujours à des résultats identiques sont équivalentes pour un large panel de fonctions. Toutefois, la dé.nition de la dérivation fractionnaire peut s.établir selon trois approches.

La première est l.approche par limites qui est l.approche classique de Grünwald-Letnikov et qui consiste à généraliser la notion de la dérivation entière. La deux- ième est l.approche de Riemann-Liouville et Caputo qui, à partir des primitives, associére la dérivation fractionnaire à l.intégration fractionnaire. La troisième approche est spectrale et utilise la transformée de Fourier. Dans ce chapitre, il s.agit pour nous de présenter les fondements de la dérivation frac- tionnaire. Nous noterons _ l.ordre de dérivation D_ l.opérateur de dérivation fractionnaire d.ordre _ et I_ l.opérateur d.intégration fractionnaire d.ordre _. Ainsi, seront présentées quelques fonctions utilisées dans le calcul fractionnaire avant de rappeler les di¤érentes dé.nitions des opérateurs d.ordre non entier. Des exemples de fonctions usuelles pour clari.er les diverses approches de la dérivation fractionnaire ainsi que leurs propriétés seront donnés.

Application du calcul fractionnaire en mécanique quantique

Aujourd.hui, le calcul fractionnaire devient un outil populaire pour les scienti.ques. Il a été utilisé avec succès dans divers domaines de la science et de l.ingénierie, notamment les équations différentielles fractionnaires sont devenues très populaires pour décrire le trans- port anormal, les processus de diffusion-réaction, la relaxation super-lente, la mécanique classique…etc [11], [2], [29]. Au cours des dernières années, le calcul fractionnaire entre dans le monde de la mécanique quantique. La fusion du calcul fractionnaire avec la mécanique quantique a des raisons mathématiques et physiques. Dans ce chapitre nous allons présenter les principes de la mécanique quantique dans le cas de la présence de la dérivée fractionnaire dans l.Hamiltonien. Notions de base La mécanique quantique ordinaire a eté realisée au moyen d.opérateurs di¤erentiels standard ( laplacien, …), Nick Laskin [15] a trouvé le moyen de généraliser cette construction pour inclure les opérateurs di¤érentiels fractionnaires. Cela a été possible en généralisant la mesure fonctionnelle de Feynmen de.ni par :

Équation de Schrödinger fractionnaire

L.équation de Schrodinger est l.équation de base de la mécanique quantique qui décrit l.évolution dans le temps du vecteur d.état j i d.un système quantique arbitraire. Elle a été établie en 1925 par Erwin Schrödinger et généralisée par Paul Dirac quelques années plus tard [6]. Pour une particule qui se déplace dans un espace tridimensionnel, sous l.in.uence du potentiel V (r; t) l.équation de Schrödinger dépendante du temps est écrite sous la forme de : H (~r; t) = i~ @ @t (~r; t) où H est l.opérateur hamiltonien de la particule et ~ la constante de Planck. En mé- canique quantique standard, si la particule est en interaction avec un potentiel scalaire V (r; t); et en l.absence de champ magnétique, H prendra la forme suivante : H = ^p2 2m + V (r; t) où ^p et r sont des opérateurs de l.impulsion et de la coordonnée d.espace de la particule. Ils sont donnés par : r = ^r , ^p = 􀀀i~r (3.3.1) Avec r = @ @x . Tandis que en mécanique quantique fractionnaire l.Hamiltonien H prend la forme suiv- ante [18] : H_ = D_ j^pj_ + V (^r; t) 1 < _ _ 2 (3.3.2) Ici il faut noter que D_ est un coé¢ cient qui ajuste les unités physiques avec le dimension [D_] = erg1􀀀_cm_sec􀀀_. En portant les équations (3:3:1) dans l.équation (3:3:2) il vient : H_ = D_ (􀀀i~r)_ + V (^r; t) (3.3.3) = D_(􀀀~2_)_=2 + V (^r; t) (3.3.4) Donc l.équation fractionnaire de Schrödinger dépendante du temps pour une particule se déplace sous l.in.uence du potentiel V (r; t) est [18] : D_(􀀀~2_)_=2 (r; t) + V (r; t) (r; t) = i~ @ @t (r; t) 1 < _ _ 2 La dérivée fractionnaire de Riesz (􀀀~2_)_=2 est dé.nie comme suit (voir la démonstration en annexe A) : (􀀀~2_)_=2 (r; t) = 1 (2_~)3 Z d3p exp( ip ~ r) jpj_ ’(p; t) (3.3.5) où ’(p; t) est la transformée de Fourier de la fonction d.onde (r; t) : ’(p; t) = Z d3r exp(􀀀 ip ~ r) (r; t) Si le mouvement de la particule est con.né sur une droite, le potentiel est alors une fonction à une seule variable de l.espace. Dans ce cas l.équation de Schrödinger de la particule ne dépend que d.une seule variable de l.espace. L.hamiltonien du type (3.3.4) s.écrit alors [19] : H_ = 􀀀D_(~r)_ + V (x; t) (3.3.6) où (~r)_ est la dérivée fractionnaire de Riesz dans une dimension (voir la démonstration en annexe A) (~r)_ (x; t) = 􀀀 1 2_~ Z +1 􀀀1 dp exp( ip ~ x) jpj_ ’(p; t) (3.3.7) Et l.équation de Schrödinger fractionnaire dépendante du temps devient :

Equation de Schrôdinger fractionnaire indépendante du temps

Pour un nombre de problèmes importants en mécanique quantique, le potentiel V n.est pas une fonction explicite du temps. L.équation de Schrödinger fractionnaire, qui est une équation aux dérivées partielles, peut alors être considérablement simpli.ée en utilisant la technique de séparation des variables. Considérons : 􀀀D_~_ @_ @x_ (x; t) + V (x) (x; t) = i~ @ @t (x; t) (3.4.1) où V = V (x) uniquement. Cette équation (3:4:1) admet une solution sous la forme d.un produit d.une fonction spatiale (x) et d.une fonction temporelle f(t) : (x; t) = f(t) (x) (3.4.2) En substituant l.équation (3:4:2) dans l.équation (3:4:1), nous obtenons : 1 (x) (􀀀D_~_ @_ @x_ (x) + V (x) (x)) = i~ @ @tf(t) f(t) (3.4.3) Du moment que le membre de droite de l.équation (3:4:3) ne dépend que de t, et le membre de gauche ne dépend que de x, les deux sont en fait égales à une constante que l.on pose égale à E. On en déduit immédiatement la solution f(t) = exp(􀀀iE ~ t) (f(0) = 1) et par conséquent la forme la plus générale de la solution dans laquelle les variables d.espace et de temps sont séparées : (x; t) = (x) exp(􀀀 iE ~ t) Cette solution est dite stationnaire car la probabilité de trouver la particule en x est indépendante du temps j (x; t)j2 = j (x)j2 : On obtient .nalement l.équation de Schrödinger indépendante du temps (ou stationnaire) [17] : 􀀀D_~_ @_ @x_ (x) + V (x) (x) = E (x)

Hermiticité de l.opérateur Hamiltonien fraction- naire L.Hamiltonien fractionnaire dé.ni par l.équation (3:3:6) est un opérateur auto-adjoint dans l.espace muni du produit scalaire : Pour prouver l.hermiticité de H_ notons que, selon la dé.nition de la dérivée de Riesz quantique fractionnaire donnée par l.équation (3:3:5), l.intégration par partie donne la for- mule : h_; (~r)__i = h(~r)__; _i (3.5.2) L.énergie moyenne d.un système quantique fractionnaire avec hamiltonien H_ est : E_ = Z +1 􀀀1 dx _(x; t)H_ (x; t) = h ;H_ i (3.5.3) Tenant compte de l.équation (3.5.2), nous avons : E_ = Z +1 􀀀1 dx _(x; t)H_ (x; t) = Z +1 􀀀1 dx(H+ _ (x; t))_ (x; t) = E__ Comme conséquence physique, l.énergie du système est réel. Ainsi, l.Hamiltonien frac- tionnée H_ dé.ni par l.équation (3:3:6) est hermitien ou opérateur auto-adjoint dans l.espace muni par le produit scalaire dé.ni par l.équation (3:5:3). (_;H__) = (H+ _ _; _) Notons que l.équation (3.3.8) conduit à l.équation importante: @ @t Z dx _ (x; t) (x; t) = 0 (3.5.4) ce qui montre que la fonction d.onde reste normalisée. En multipliant l.équation (3:3:8) par _(x; t) et conjuguant de l.équation (3:3:8)et mul- tipliant la par 􀀀 (x; t), et en sommant les deux équations résultantes, on obtient : i} @ @t ( _ (x; t) (x; t)) = _ (x; t)H_ (x; t) 􀀀 (x; t)H__ _ (x; t) (3.5.5) Intégrons cette relation sur tout l.éspace et en utilisant le fait que l.opérateur H_ est auto- adjoint, nous trouvons l.équation (3:5:4)