Imbrication d’algorithmes proximaux et extension quadratique

Opérateur proximal 

L’opérateur proximal est associé à une fonction f ∈ Γ0(H) en un point u ∈ H et se note proxfu. Il correspond à l’unique point qui minimise f + k · −uk 2 , i.e. proxf : H → H : u 7→ arg min v∈H 1 2 kv − uk 2 + f(v). (3.1) Cet opérateur généralise la notion de projection sur un ensemble convexe fermé non vide C ⊂ H telle que proxιC = PC. De nombreuses formes explicites d’opérateurs proximaux sont répertoriées dans de récents travaux [Combettes, Wajs, 2005; Chaux et al., 2007; Combettes, Pesquet, 2007a; Combettes, Pesquet, 2010]. Une forme bien connue de cet opérateur proximal est celle associée à une norme ℓ1 (antilog vraisembance d’une loi de Laplace), qui est rappelée ci-dessous. Exemple 3.3 Soit χ ∈]0, +∞[ et soit ϕ = χ| · |. On a alors, pour tout ξ ∈ R, proxϕ ξ =    ξ − χ si ξ > χ 0 si ξ ∈ [−χ, χ] ξ + χ si ξ < −χ Cet opérateur proximal correspond à un seuillage doux, c’est à dire, pour tout ξ ∈ R, proxϕ ξ = soft[−χ,χ]ξ = sign(ξ) max{|ξ| − χ, 0}. D’autres formes explicites sont données pour des distributions gaussienne généralisée, exponentielle, gamma, chi, uniforme et, plus généralement, pour des densités de probabilité log-concaves [Chaux et al., 2007]. Dans la suite de ce chapitre, seules les propriétés de cet opérateur qui sont nécessaires à la bonne compréhension du manuscrit seront rappelées. 

 Quelques propriétés

Dans ce paragraphe nous listons une série de propriétés liées aux opérateurs proximaux. Ces propriétés vont du calcul d’un opérateur proximal pour une fonction composée avec un opérateur linéaire, utile dans des problèmes de restauration d’images, à la propriété de contraction de l’opérateur proximal, nécessaire dans les preuves de convergence des algorithmes proximaux. Nous nous attarderons également sur le calcul de l’opérateur proximal d’une somme de deux fonctions dont l’une est la fonction indicatrice d’un ensemble convexe. • Points fixes [Chaux et al., 2007, lemme 2.3(i)] : Soit f ∈ Γ0(H), pour tout u ∈ H, on a alors u ∈ Argminf ⇔ proxfu = u. (3.2) • Perturbation quadratique [Combettes, Wajs, 2005, lemme 2.6(i)] : Soit f = h+ϑk · k2/2 +χ ·, ev
+ε avec h ∈ Γ0(H), ve ∈ H, ϑ ∈ [0, +∞[ et (χ, ε) ∈ R 2 . Pour tout u ∈ H, on a alors proxfu = proxh/(ϑ+1).