Contribution à l’étude du contrôle optimal des transferts orbitaux mono-entrée

 Mise en œuvre pratique : la methode de tir 

Le calcul de la loi optimale en utilisant le principe du maximum est fonde sur le principe suivant : Etape 1 én un point (x(t), p(t)) de la trajectoire, on calcule le controle avec la ˆ condition de maximisation. Ce controle s’exprime comme un feedback dynamique ˆ (fonction en genéral multi-valu ée) u(t) = uˆ(x(t), p(t)). Etape 2 Dans le cas ou la condition de maximisation conduit a un contr ole unique ˆ uˆ(x, p), on definit un vrai Hamiltonien Hˆ(x, p) = H(x, p, uˆ(x, p)) qui definit par integration les trajectoires optimales. On applique une m éthode de tir, pour calculer le vecteur adjoint initial p0 = p(0), qui doit verifier les conditions de transversa- lite. Pour le calcul de p0, on doit donc resoudre une équation de tir (non lineaire) S(p0) = 0. Le probleme est bien pos è car le nombre d’ équations de tir co ¨ıncide avec le nombre d’inconnues. 2.1.3 Lien avec la methode de continuation Si l’on veut converger vers la solution, la resolution de l’ équation par une methode de type N éWTON necessite d’avoir une bonne approximation du vecteur p(0) initial. Pratiquement, on effectue souvent le calcul en immergeant le probleme dans une famille de probl èmes a un param ètre λ ou l’ èquation de tir s’ecrit Sλ (p0) = 0, par exemple λ = ε, module de la poussee, ou en prenant un coutˆ R T 0 {(1−λ)ku(t)k 2 +λku(t)k}dt, λ ∈ [0, 1] pour le transfert orbital. 

Conditions du second ordre. Equation de JACOBI 

On peut observer que meme dans le cas o ˆ u le domaine de commande U est ouvert, la condition de maximisation de H conduit a ∂H/∂u = 0 de la version faible, mais de plus on obtient une condition du second ordre qui est la condition de LEGENDRE : ∂ 2H/∂u 2 ≤ 0. Cette condition est en genéral insuffisante pour conclure sur l’optimalite, lorsque le temps de transfert T est grand. On doit alors comme dans le calcul des variations classiques introduire un concept de point conjugue. C’est une notion qui s’introduit avec la variation seconde de l’application extremit ˆ e mais qui a aussi une interpretation g éom étrique en utilisant le flot extr émal . Pour simplifier la presentation, on se limite ici au probl éme du temps minimal, avec des hypotheses restrictives (l’extr èmale de r éférence étant injective). 

Hypotheses

On considere un syst ème lisse de R n : ˙x = f(x, u), u ∈ U et on suppose que le domaine de commande U est ouvert. D’apres l’analyse faite plus haut, dans le cas du temps minimal, si A(x0, T) est l’ensemble des etats accessibles en temps T du systeme, une trajectoire t 7→ (x(t), u(t)), t ∈ [0, T] minimale en temps est telle que pour 0 < t ≤ T, x(t) appartient a la fronti ère de A(x0, t). De plus, u|[t0,t1] est une singularite de l’application éxtremit ˆ e avec 0 < t0 < t1 ≤ T calculee avec x0 = x(t0) a l’instant t1 −t0. On note k(t0, t1) la codimension de la singularite. La premi ére hypoth èse est : Hypothese 2.1. Le probleme est fortement regulier , c’est-a-dire que k (t0, t1) = 1 pour 0 < t0 < t1 ≤ T . La seconde hypothese consiste a renforcer la condition de L èGENDRE : Contribution a l’ ètude du contr ole optimal des transferts orbitaux mono-entr ˆ ee 24 Premiere partie. Mod èle et conditions d’optimalit è Hypothese 2.2. Avec H(x, p, u) = p 0 ·1+hp, f(x, u)i, la condition de LEGENDRE forte le long de (x(·), u(·)) est verifi ée : ∂ 2H/∂u 2 < 0. On peut alors resoudre ∂H/∂u = 0 avec le theor éme des fonctions implicites et calculer localement un controle extr ˆ emal comme un feedback dynamique ˆ u(x, p) et on note Hˆ(x, p) = H(x, p, uˆ(x, p)). Cette resolution est locale et on doit aussi imposer que ˆu est un maximum global de H. Hypothese 2.3. On est dans le cas normal, i.e. p 0 6= 0. 

Definitions

Sous les hypotheses pr ècédentes, on introduit la d éfinition suivante : Definition 2.2 (D ériv ée seconde intrins éque). Soit Ex0,t est l’application extremite a l’instant 0 < t ≤ T . On appelle E00 t la deriv ée seconde intrins éque la restriction de la variation seconde au noyau de E0 x0,t (u) (ou u est le contr ole extr ˆ emal de reférence) et projet ée sur {ImE 0 x0,t (u)} ⊥. Son calcul explicite est aise avec l’ évaluation de la variation seconde et {ImE 0 x0,t (u)} ⊥ est un espace vectoriel de dimension un donne par Rp(t) d’apres l’interpretation g éométrique du vecteur adjoint (Remarque 2.2 page 22). On peut donner une premiere d èfinition de la notion de point conjugu é. Definition 2.3 (Point conjugu é). On appelle temps conjugue le long de l’extremale de reférence un instant 0 < tc ≤ T ou la d èriv ée seconde intrins éque, vue en tant que forme quadratique, admet une valeur propre nulle. Le point x(tc) s’appelle un point conjugue a x 0 = x(0). On presente maintenant la caract érisation g éométrique. Definition 2.4 (Point conjugu é g éométrique). Soit H(x, p) un Hamiltonien lisse et z(·) = (x(·), p(·)) une trajectoire de −→H definie sur [0, T]. On appelle equation de JACOBI le long de z(·) l’equation aux variations ˙δz(t) = d −→H (z(t))· δz(t). Un champ de JACOBI est une solution non-triviale J(·) de cette equation. En notant J(·) = (δx(·), δ p(·)), on dit que J est vertical a l’instant t si δx(t) = 0. Le temps tc et le point correspondant x(tc)sont dits geométriquement conjugu és a 0 et x(0)respectivement s’il existe un champ de JACOBI vertical aux instants t = 0 et t = tc. Contr.