Corrections des aberrations de phase générées par le cristallin

En physique, le lann er de rayon, ray tracing en anglais, est une méthode permettant de déterminer le chemin emprunté par des ondes ou des particules dans un milieu où leur vitesse de propagation n’est pas uniforme [Glasser, 1989℄. Cette technique reproduit les phénomènes physiques que sont la réflexion et la réfraction. Le lan er de rayon est ainsi très utilisé en sismologie et en optique, permettant la construction rapide et précise des ondes réfritées au sein d’un milieu inhomogène. Dans le domaine des ultrasons, la technique de lann er de rayon est prin ip lement employée dans le contrôle non destructif et se limite en imagerie médicale essentiellement à la tomographie e.g. ultrasound computed tomography (CT) de la poitrine pour diagnostiquer le cancer du sein [Li et al., 2009℄ (l’UCT du sein n’est pas encore utilisé en routine clinique). Il existe cependant des exemples d’utilisation de te hniques de lann er de rayon en é ographie o ulaire, élaborées essentiellement à des ns prédi tives, pour étudier par exemple la répartition de l’intensité de faisceaux US traversant les tissus o ulaires [Chivers et al., 1984℄, ou en ore pour évaluer la distorsion des images US pour di érents s ans de l’÷il [Sokollu, 1968℄, [Bus hamann et al., 1971℄, comme nous avons pu le voir dans le chapitre 2. Ré emment, Falhar et Rehak ont également utilisé le lann er de rayon pour comparer l’approche par voie onta t et par immersion dans la mesure de la longueur axiale de l’÷il en mode-A [Falhar et Rehak, 2010℄. Dans une de ces méthodes, le milieu o ulaire est modélisé comme un ensemble de régions où la célérité US est constante. Au minimum deux régions différentes sont considérées, i.e. le cristallin et les autres tissus o ulaires confondus [Sokollu, 1968℄, avec pour les modèles les plus développés, l’ajout de la ornée ensemble de rayons dénis par une position et une direction (angle) initiale est ensuite propagé en respectant les lois de Snell-Des tartes aux interfaces délimitant les différentes régions considérées. Les applications du lancer de rayon en écographie oculaire ont donné jusqu’à présent eu comme particularité d’utiliser des techniques où seul le point de départ des rayons était xé. Cependant, les besoins de la re onstru tion d’image US requièrent la connaissance du chemin emprunté par des rayons liant le point fo al Ωf aux éléments a tifs de la barrette US, an de pouvoir ensuite appliquer les délais de focalisation compensant les aberrations de phases. Ainsi, pour chaque lancer de rayon, deux points doivent être xés l’un à l’origine et l’autre à l’arrivée : (1) le point focal Ωf et (2) le entre géométrique d’un élément a tif de l’émission ou de la ré eption. Ce problème, dénommé two-point ray tracing ou two-endpoint ray tracing dans la littérature, peut être résolu soit par une méthode dite de « shooting » [Engdahl, 1973℄, soit par « bending » [Wesson, 1971℄. Ces deux méthodes sont itératives et assurent la convergence vers le chemin réf ra té entre deux points donnés. Dans la méthode de « shooting », un rayon se propage depuis un point de départ choisi avec une direction initiale donnée qui va ensuite être itérativement modifiée jusqu’à ce que le rayon émerge au point d’arrivée souhaité. Dans la méthode « bending », un chemin initial onne té aux points de départ et d’arrivée est modifié jusqu’à ce qu’il satisfasse le principe de stationnarité, i.e. La durée du parcours nal est stationnaire. Nous avons choisi d’appliquer la méthode « bending » en 2D pour la orre tion des aberrations de phase induite par le cristallin car elle est reconnue pour être sensiblement plus rapide, nécessitant un nombre d’itération jusqu’à 10 fois plus faible pour une pré ision égale, et adaptée aux milieux présentant des discontinuités dans le champ de célérité [Julian et Gubbins, 1977℄. Pré isons qu’en dépit du terme « bending » qui signifie pliage, la méthode de lann er de rayon que nous avons développée pour re onstruire des B-s ans o ulaires exempts d’aberrations de phase cristalliniennes n’emploie qu’une su ession de rayons rectilignes pour chaque chemin considéré, par la célérité US dans le cristallin et le milieu intra-o ulaire environnant est considérée comme uniforme. Ainsi, le chemin emprunté sera re tiligne au sein de ha un de ces deux milieux ; les « pliages » auront lieu exclusivement aux interfaces, dans le respect de la loi de Snell-Descartes pour la réfraction. 

Représentation géométrique du ristallin

 Le « two-end point bending ray tracing » que nous avons développé pour la détermination du temps de vol acoustique existant entre deux points arbitraires A et B inter étant potentiellement le cristallin repose sur une expression analytique des chemins réf tés et par conséquent du contour du cristallin. Le cristallin humain est généralement décrit comme composé de deux surfaces asphériques, bien que les premiers modèles le représentent par deux surfaces sphériques dans un repère cartésien. Des fonctions complexes définies en coordonnées polaires ont récemment été proposées pour représenter le profil du cristallin à l’aide d’une seule courbe. Ainsi Kasprzak utilise la fonction cosinus hyperbolique ([Kasprzak, 2000℄), et Urs une série de Fourier à l’ordre 10 ne conservant que les termes pairs ( cosinus) ([Urs et al., 2010℄). Ces fonctions nécessitent un nombre important de paramètres (inclinaison, position de différentes portions du contour) mais sont su samment généralisées pour approximer pré aisément la plupart des formes que peut emprunter le cristallin au cours de l’accommodation ou de son vieillissement. Figure 4.1  Contour du ristallin, i i dans une forme non a ommodée, représenté par deux ar s d’ellipse (ξant pour le segment antérieur et ξpost pour le segment postérieur), partageant un demi-grand axe ommun Leq 2 et dotées de deux demi-petit axe (eant et epost) entrés en ΩL. Ces représentations plus complexes sont apparues essentiellement pour répondre aux besoins d’une représentation plus pré ise de la portion équatoriale du ontour cristallinien dans les études par éléments nis du mécanisme d’a ommendation ou en ore pour d’autres applications spé i ques comme la modélisation analytique du cristallin en optique [Hermans et al., 2009℄. Étant donné que l’emploi de pareilles représentations augmenterait drastiquement la complexité et le temps de al ul de notre méthode de lann er de rayon semi-analytique, et que la pré ision qu’elles apportent n’est pas nécessaire dans le cas présent, nous avons choisi d’approximer le contour du cristallin par deux fon tions ioniques simples (voir Fig. 4.1), l’une pour le segment antérieur et l’autre pour le segment postérieur. Ces deux fonctions ioniques sont définies en coordonnées cartésiennes et représentent chacune un arc d’ellipse (Eq. 4.1) ar la représentation ellipsoïdale est reconnue pour approcher ave délité la forme in vivo du cristallin pour de nombreux états a accommodatifs [Reilly et Ravi, 2010℄. De plus, cette représentation présente l’avantage notable d’assurer la continuité du contour à l’équateur ce qui est une ara téristique importante dans le bon fonctionnement du lan er de rayon développé. Le ontour du ristallin ζL ainsi déni est doté d’un entre ΩL € xL; zL Š , d’un grand axe ommun aux deux ar s Leq dans l’axe équatorial et de deux demi-petit axes eant et epost, respe tivement propres aux segments antérieur et postérieur. Toutes les coordonnées sont exprimées dans le repère cartésien orthonormé ayant pour origine le centre de la sonde US et comme vecteur directeur en z l’axe antéro-postérieur du cristallin et en x son perpendiculaire orienté dans le sens positif. ξarc(x) = zL+sign(arc)·earcÌ 1 − ‚ x − xL eeq Œ2 ave sign(arc) =    −1 si arc = ant 1 si arc = post (4.1) où eeq = Les 2 est le demi-grand axe de l’ellipsoïde, xL et zL sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée de son centre géométrique.

Fondements géométriques et mathématiques du lan er de rayon de type bending 

La technique de lann er de rayon de type bending que nous avons développée pour l’estimation de la durée T OFAB du parcours entre 2 points A et B, en prenant en compte la réfraction éventuelle au niveau de l’interface cristallin/humeurs, est dé rite par le synoptique de la gure 4.2. Bien qu’en pratique les points A et B correspondent soit au point focal Ωf soit au entre géométrique d’un élément a tif de la barrette US, le formalisme géométrique du lancer de rayon doit être néanmoins susamment général pour fonctionner quelque soit le couple (A; B) considéré. Tout d’abord il faut déterminer si le segment [AB] intercepte le contour du cristallin ζL. Cette information s’obtient par le al ul du cardinal de l’intersection de [AB] ave ζL, soit I[AB]∩ζL = card ([AB] ∩ ζL) = card ([AB] ∩ ξant) + card ([AB] ∩ ξpost), dont la valeur détermine l’un des trois as géométrique possible : I[AB]∩ζL = 0 : Le cristallin n’est pas traversé. I[AB]∩ζL = 1 : A ou B est à l’intérieur du cristallin et B ou A à l’extérieur. I[AB]∩ζL = 2 : Le cristallin se situe entre A et B. La durée T OFAB du par ours ABø est alors exprimée en fonction de la conguration géométrique rencontrée. Le calcul de card ([AB] ∩ ξarc) informant sur l’éventuelle intersection du segment [AB] ave l’ar antérieur ou postérieur s’effectue en résolvant le système . Les racines du polynme de se ond degré de e système correspondent aux éventuelles abscisses du ou des deux points d’interse tion entre la droite ane dénie par le segment [AB] et l’ellipse de grand-axe eeq et de petit-axe earc . S’il existe une solution à e système alors card ([AB] ∩ ξarc) vaut 1, sinon 0. Lorsque le ristallin n’est pas traversé, le tra jet entre A et B est alors re tiligne et sa durée T OFAB s’exprime alors de façon triviale selon l’équation 4.3. T OFAB = −−→AB cH (4.3) où cH est la élérité US au sein de l’humeur aqueuse et du vitré entourant le ristallin et −−→AB la norme Eu lidienne du ve teur déni par A et B. Dans les deux autres as T OFAB est paramétré dans le repère Cartésien de façon à ne dépendre que d’une unique variable x, correspondant à l’abs issue du premier arc intercepté par le rayon re tiligne issu de A. Cette contrainte sert de trame pour la définition du formalisme géométrique du lan er de rayon, en particulier dans le cas le plus complexe impliquant la traversée complète du cristallin. Elle permet ensuite d’employer une méthode de convergence superlinéaire i.e. Newton-Raphson, vers le chemin réf té entre A et B. Le chemin réf ra té est alors obtenu en appliquant cette méthode pour trouver l’abscisse x ∗ , solution du problème de minimisation formulé par Eq. 4.4 et pour laquelle la durée du parcours entre A et B est stationnaire, et on en a ordonné avec le principe de Fermat. Rappelons que ce principe stipule que le chemin emprunté par une onde non dispersive lors de sa propagation entre deux points donnés correspond à celui pour lequel la durée de parcours est minimale.